Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.5 - Ex. 49

Se , mostre que 0 é um número crítico de , mas que não é um extremo relativo. A origem é um ponto de inflexão do gráfico de Prove sua resposta,

Passo 1

Para começar precisamos determinar os pontos críticos da função. Os números críticos são caracterizados pelos valores de x que permitam ou para os quais não exista. Então, o primeiro passo é calcularmos a derivada primeira:

A função é contínua para todos os valores de x. Sendo assim, precisamos somente de igualar a função a 0:

Comprovamos que 0 é um ponto crítico da função. O próximo passo é avaliar se este ponto é um extremo relativo.

Passo 2

Para determinar se tem um extremo relativo nesse ponto, aplicamos o teste da derivada primeira:

Como a função continua a crescer, 0 não é um extremo relativo.

Passo 3

Para descobrir os pontos de inflexão do gráfico, precisamos da derivada segunda:

Uma vez descoberta a derivada segunda, os pontos de inflexão são caracterizados por :

Neste caso, a função será igual a 0 no ponto Mas para que um ponto seja classificado como ponto de inflexão a concavidade deve mudar de direção em valores maiores e menores que este.