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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.5 - Ex. 22

22. Mostre que se 0 <= x <= (1)/(2) , s e n x = x - (x^3)/(3 !) + R ( x ) onde |R ( x )| < (1)/(3.840)

Passo 1

Nesta questão, basta determinarmos qual é a série de MacLauren da função em questão com n = 4 e a = 0

Passo 2

Sendo assim, para a função dessa questão o polinômio de Maclaurin ficaria da seguinte forma:

P_4 (x) = f (x) + (f ´ (0))/(1 !) . (x - 0) + (f ´ ´ (0))/(2 !) . (x - 0)^2 + (f^((3)) (0))/(3 !) . (x - 0)^3 + (f^((4)) (0))/(4 !) . (x - 0)^4

Agora nos resta calcular a primeira, segunda, terceira e a quarta derivada aplicada no número a = 0 .

Como f (x) = s e n x , temos que :

f (0) = s e n ( 0 ) = 0

Passo 3

Calculando a primeira derivada e aplicando no número a teremos:

f ´ (x) = c o s x

f ´ (0) = 1

Passo 4

Calculando a segunda derivada e aplicando no número a teremos:

f ´ ´ (x) = - s e n x

f ´ ´ (0) = 0

Passo 5

Calculando a terceira derivada e aplicando no número a teremos:

f^3 (x) = - c o s x

f^3 (0) = - 1

Passo 6

Calculando a quarta derivada e aplicando no número a teremos:

f^4 (x) = s e n x

f^4 (0) = 0

Passo 7

Sendo assim, substituindo os valores encontrados na fórmula geral para o polinômio de Maclaurin desta questão , vem :

P_4 (x) = f (x) + (f ´ (0))/(1 !) . (x - 0) + (f ´ ´ (0))/(2 !) . (x - 0)^2 + (f^((3)) (0))/(3 !) . (x - 0)^3 + (f^((4)) (0))/(4 !) . (x - 0)^4

P_4 (x) = 0 + x + 0 - (x^3)/(3 !) + 0

P_4 (x) = x - (x^3)/(3 !) + R ( x )

Resposta

Demonstração.

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Verifique ques e n (x) = x + o (x^2)
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