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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.5 - Ex. 17

Estime o erro que se comete quando cos ⁡ x é substítuido por 1 - 1 2 x ² se x < 0,1 .

Passo 1

Então pessoal, como a função em que cos ⁡ x é substuído tem grau 2, então vamos tomar o seguinte:

f x = cos ⁡ x

No qual os valores de a e n para o polinômio de Talor são, respectivamente, 0 e 3. O polinômio em questão é dado pela seguinte fórmula:

P n x = f 0 + f ' ( 0 ) 1 ! x + f ' ' ( 0 ) 2 ! x 2 + … + f n 0 n ! x n

Sendo assim, precisamos determinar algumas derivadas de f ( x ) , certo? Botando mãos a obra, teremos:

f ' x = - s e n   x

f ' ' x = - cos ⁡ x

f ' ' ' x = s e n   x

f 4 x = cos ⁡ x

Passo 2

Utilizando o polinômio supracitado, teremos:

P 3 x = 1 + 0 - 1 2 x 2 + 0 = 1 - 1 2 x 2

Ademais, da fórmula de Taylor, temos que a última derivada pode ser escrita no seguinte formato:

f 4 ( ξ ) 4 ! = cos ⁡ ξ 24 x 4

Sendo assim, se quisermos descobrir o erro, teremos:

e r r o = cos ⁡ ξ 24 x 4 < 1 24 0,1 4 < 0,000005

Note que ξ foi tomado como 0 , beleza?!

Resposta

e r r o < 0,000005

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D e t e r m i n eop o l i n ô m i od eT a y l o r ,d eo r d e m2 ,d efe mv o l t ad ex 0d a d o . ô f x = 1 1 - x 2 e x 0 = 0
Mostre que, para 0 ≤ x ≤ 1 : 0 ≤ e x - 1 + x + x 2 2 ≤ x 3 2
D e t e r m i n eop o l i n ô m i od eT a y l o r ,d eo r d e m2 ,d efe mv o l t ad ex 0d a d o . ô f x = cos ⁡ x e x 0 = 0
D e t e r m i n eop o l i n ô m i od eT a y l o r ,d eo r d e m2 ,d efe mv o l t ad ex 0d a d o . ô f x = x e x 0 = 4
D e t e r m i n eop o l i n ô m i od eT a y l o r ,d eo r d e m2 ,d efe mv o l t ad ex 0d a d o . ô sen ⁡ x e x 0 = 0