Estime o erro que se comete quando cos(x) é substítuido por 1 - (1 - 1/2)x² se |x| < 0,1 .

Passo 1

Então pessoal, como a função em que cos ⁡ x é substuído tem grau 2, então vamos tomar o seguinte:

f x = cos ⁡ x

No qual os valores de a e n para o polinômio de Talor são, respectivamente, 0 e 3. O polinômio em questão é dado pela seguinte fórmula:

P n x = f 0 + f ' ( 0 ) 1 ! x + f ' ' ( 0 ) 2 ! x 2 + … + f n 0 n ! x n

Sendo assim, precisamos determinar algumas derivadas de f ( x ) , certo? Botando mãos a obra, teremos:

f ' x = - s e n   x

f ' ' x = - cos ⁡ x

f ' ' ' x = s e n   x

f 4 x = cos ⁡ x

Passo 2

Utilizando o polinômio supracitado, teremos:

P 3 x = 1 + 0 - 1 2 x 2 + 0 = 1 - 1 2 x 2

Ademais, da fórmula de Taylor, temos que a última derivada pode ser escrita no seguinte formato:

f 4 ( ξ ) 4 ! = cos ⁡ ξ 24 x 4

Sendo assim, se quisermos descobrir o erro, teremos:

e r r o = cos ⁡ ξ 24 x 4 < 1 24 0,1 4 < 0,000005

Note que ξ foi tomado como 0 , beleza?!

Resposta

e r r o < 0,000005

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