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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.2 - Ex. 6c

Verifique que

s e n (x) = x + o (x^2)

Passo 1

Nesse tipo de exercício não tem muito mistério, temos que lembrar da expressão lá da teoria:

f (x) = f (x_0) + f^' (x_0) (x - x_0) + (f^(' ') (x_0))/(2) (x - x_0)^2 + o ((x - x_0)^2)

Repare que vamos usar essa expressão pois temos o termo x^2 no fator o (x^2) .

Passo 2

A ideia vai ser considerarmos f (x) = s e n (x) e o ponto x_0 = 0 para o termo o ((x - x_0)^2) virar o (x^2) . Então vamos lá!

f (0) = s e n (0) -> f (0) = 0

Não esquece: (s e n (x))^' = c o s (x)

f^' (x) = cos (x)

Logo,

f^' (0) = cos (0) -> f^' (0) = 1

Não esquece: (c o s (x))^' = - s e n (x)

f^(' ') (x) = - s e n (x)

Assim,

f^(' ') (0) = 0

Passo 3

Voltando para expressão do Passo 1:

f (x) = f (0) + f^' (0) (x - 0) + (f^(' ') (0))/(2) (x - 0)^2 + o ((x - 0)^2)

Substituindo com o que achamos no Passo 2

s e n (x) = s e n (0) + cos (0) (x - 0) + (- s e n (0))/(2) (x - 0)^2 + o ((x - 0)^2)

Isto é,

s e n (x) = 0 + x + 0 + o (x^2)

Portanto,

s e n (x) = x + o (x^2)

E assim terminamos nossa verificação 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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