Verifique que

ln(x) = (x - 1) - 1/2 \* (x - 1)^2 + o((x - 1)^2)

Passo 1

Nesse tipo de exercício não tem muito mistério, temos que lembrar da expressão lá da teoria:

f x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + o x - x 0 2

Repare que vamos usar essa expressão pois temos o termo x 2 no fator o x - 1 2 .

Passo 2

A ideia vai ser considerarmos f x = ln ⁡ ( x ) e o ponto x 0 = 1 para o termo o x - x 0 2 virar o x - 1 2 . Então vamos lá!

f 1 = ln ⁡ 1 → f 1 = 0

Não esquece: ln ⁡ x ' = 1 x

f ' x = 1 x

Logo,

f ' 1 = 1 1 → f ' 1 = 1

Não esquece: 1 x ' = - 1 x 2

f ' ' x = - 1 x 2

Assim,

f ' ' 1 = - 1 1 2 → f ' ' 1 = - 1

Passo 3

Voltando para expressão do Passo 1:

f x = f 1 + f ' 1 x - 1 + f ' ' 1 2 x - 1 2 + o x - 1 2

Substituindo com o que achamos no Passo 2

ln ⁡ x = 0 + 1 ⋅ x - 1 + - 1 2 x - 1 2 + o x - 1 2

Portanto,

ln ⁡ x = x - 1 - 1 2 x - 1 2 + o x - 1 2

E assim terminamos nossa verificação 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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