Enunciado

Verifique que

ln (x) = (x - 1) - (1)/(2) (x - 1)^2 + o ((x - 1)^2)

Passo 1

Nesse tipo de exercício não tem muito mistério, temos que lembrar da expressão lá da teoria:

f (x) = f (x_0) + f^' (x_0) (x - x_0) + (f^(' ') (x_0))/(2) (x - x_0)^2 + o ((x - x_0)^2)

Repare que vamos usar essa expressão pois temos o termo x^2 no fator o ((x - 1)^2) .

Passo 2

A ideia vai ser considerarmos f (x) = ln ( x ) e o ponto x_0 = 1 para o termo o ((x - x_0)^2) virar o ((x - 1)^2) . Então vamos lá!

f (1) = ln (1) -> f (1) = 0

Não esquece: (ln (x))^' = (1)/(x)

f^' (x) = (1)/(x)

Logo,

f^' (1) = (1)/(1) -> f^' (1) = 1

Não esquece: ((1)/(x))^' = - (1)/(x^2)

f^(' ') (x) = - (1)/(x^2)

Assim,

f^(' ') (1) = - (1)/(1^2) -> f^(' ') (1) = - 1

Passo 3

Voltando para expressão do Passo 1:

f (x) = f (1) + f^' (1) (x - 1) + (f^(' ') (1))/(2) (x - 1)^2 + o ((x - 1)^2)

Substituindo com o que achamos no Passo 2

ln (x) = 0 + 1 * (x - 1) + (- 1)/(2) (x - 1)^2 + o ((x - 1)^2)

Portanto,

ln (x) = (x - 1) - (1)/(2) (x - 1)^2 + o ((x - 1)^2)

E assim terminamos nossa verificação 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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