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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.2 - Ex. 7

Seja f x = x 8 s e n 1 x 2 ,     s e   x ≠ 0 0 ,     s e   x = 0

Determine o Polinômio de Taylor de ordem 2 de f em volta de x 0 = 0

Passo 1

Nesse tipo de exercício não tem muito mistério, temos que lembrar da expressão do polinômio de Taylor de ordem 2, olha só:

f x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2

Relembrado essa formula vamos aplicar para a nossa função!

A ideia é primeiro encontrar as derivadas da nossa função, depois fazemos x 0 = 0 e por fim, substituímos nessa expressão .Vem comigo!

Passo 2

Vamos começar derivando quando x ≠ 0 :

f x = x 8 s e n 1 x 2

Pela regra do produto:

f ' x = 8 x 7 s e n 1 x 2 + x 8 s e n 1 x 2 '

Agora não podemos esquecer da regra da cadeia!

f ' x = 8 x 7 s e n 1 x 2 + x 8 cos ⁡ 1 x 2 1 x 2 '

Logo,

f ' x = 8 x 7 s e n 1 x 2 + x 8 cos ⁡ 1 x 2 ⋅ - 2 x 3

Simplificando:

f ' x = 8 x 7 s e n 1 x 2 - 2 x 5 cos ⁡ 1 x 2

Agora também temos que fazer para x = 0

f ' 0 = 0

Passo 3

Agora vamos ver como fica a segunda derivada!

f ' x = 8 x 7 s e n 1 x 2 - 2 x 5 cos ⁡ 1 x 2

Usando a regra do produto novamente:

f ' ' x = 7 ⋅ 8 x 6 s e n 1 x 2 + 8 x 7 s e n 1 x 2 ' - 5 ⋅ 2 x 4 cos ⁡ 1 x 2 + 2 x 5 cos ⁡ 1 x 2 '

Pela regra da cadeia:

s e n 1 x 2 ' = cos ⁡ 1 x 2 ⋅ - 2 x 3

e

cos ⁡ 1 x 2 ' =   - s e n 1 x 2 ⋅ - 2 x 3

Voltando para expressão de f ' ' ( x ) , temos:

f ' ' x = 7 ⋅ 8 x 6 s e n 1 x 2 + 8 x 7 - s e n 1 x 2 ⋅ - 2 x 3 - 5 ⋅ 2 x 4 cos ⁡ 1 x 2 + 2 x 5 - s e n 1 x 2 ⋅ - 2 x 3

Simplificando:

f ' ' x = 56 x 6 s e n 1 x 2 - 16 x 4 s e n 1 x 2 - 10 x 4 cos ⁡ 1 x 2 - 4 x 2 s e n 1 x 2

E, novamente, não podemos esquecer o para x = 0 :

f ' ' 0 = 0

Passo 4

Chegou a hora de substituir tudo na expressão. Lembrando,

f x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2

Fazendo x 0 = 0

f x = f 0 + f ' 0 x - 0 + f ' ' 0 2 x - 0 2

Calculando temos,

f 0 = 0  

f ' 0 = 8 x 7 s e n 1 x 2 - 2 x 5 cos ⁡ 1 x 2 = 0

f ' ' 0 = 7 ⋅ 8 x 6 s e n 1 x 2 + 8 x 7 - s e n 1 x 2 ⋅ - 2 x 3 - 5 ⋅ 2 x 4 cos ⁡ 1 x 2 + 2 x 5 - s e n 1 x 2 ⋅ - 2 x 3 = 0

Logo,

f x = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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