Enunciado

Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = - d tem a equação polar

r = e d 1 - e sen ⁡ θ

Passo 1

Hey, galera! Tudo tranquilo?

Vamos começar entendendo o que pode ser feito para resolvermos esta questão.

Para fazer o que foi pedido primeiro vamos construir a curva em questão, iremos também considerar a definição da excentricidade e em termos da distância focal d da diretriz até o foco. Como a equação da definição já foi dada no enunciado, temos então que analisar apenas.

Passo 2

Bom, pessoal. Primeiro, vamos fazer um esboço do que seria uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d , beleza?

A equação da diretriz y = - d indica que a distância como e = d a , onde a é o semieixo maior da dônica. Os pontos (2, 0) e (-2, 0) são interceptados pela curva devido às propriedades da equação polar em θ = 0 e θ = π , onde o valor de r é calculado para satisfazer as coordenadas cartesianas especificadas. A relação entre 𝑒e, 𝑑d e os valores de r determina esses pontos de interseção.

Agora, como provar que essa cônica tem a seguinte equação?

r = e d 1 - e sen ⁡ θ

Passo 3

Galera, vamos lembrar de como definimos uma cônica: a razão entre a distância P F de um ponto qualquer da cônica ao foco e a distância | P l | entre esse ponto e a reta diretriz deve ser igual à excentricidade:

P F | P l | = e

Digamos que o ponto P tem coordenadas polares r ,   θ e retangulares x ,   y .

Como mostra a figura, o foco está na origem, então P F = r .

Olhando novamente pra figura, vemos que P l = d - | y |

Como y é negativo:

P l = d - - y

P l = d + y

P l = d + r   s e n   θ

Passo 4

Agora que já temos P F e P l em coordenadas polares, jogamos esses valores na equação:

P F | P l | = e

r d + r sen ⁡ θ = e

r = e d + r e sen ⁡ θ

r ( 1 - e sen ⁡ θ ) = e d

r = e d 1 - e sen ⁡ θ

Chegamos onde queríamos, beleza?

Resposta

Demonstração

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