Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e diretriz tem a equação polar

Bom, pessoal. Primeiro, vamos fazer um esboço do que seria uma cônica com foco na origem, excentricidade e diretriz , beleza?

A equação da diretriz indica que a distância como , onde a é o semieixo maior da dônica. Os pontos (2, 0) e (-2, 0) são interceptados pela curva devido às propriedades da equação polar em e , onde o valor de é calculado para satisfazer as coordenadas cartesianas especificadas. A relação entre 𝑒e, 𝑑d e os valores de determina esses pontos de interseção.

Agora, como provar que essa cônica tem a seguinte equação?

Galera, vamos lembrar de como definimos uma cônica: a razão entre a distância de um ponto qualquer da cônica ao foco e a distância entre esse ponto e a reta diretriz deve ser igual à excentricidade:

Digamos que o ponto tem coordenadas polares e retangulares .

Como mostra a figura, o foco está na origem, então .

Olhando novamente pra figura, vemos que

Como é negativo:

Agora que já temos e em coordenadas polares, jogamos esses valores na equação:

Chegamos onde queríamos, beleza?