Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.3 - Ex. 34
Use o método do exercício 33 e a indução matemática para provar que um polinômio de grau tem no máximo raízes reais.
Passo 1
Primeiro de tudo vamos lembrar o que o teorema de Rolle diz. Seja uma função tal que ela seja contínua em , derivável em e com e . Então existe um número no intervalo aberto tal que .
Passo 2
Agora vamos utilizar o processo de indução matemática.
Um polinômio de grau 1 tem raiz real e um polinômio de grau 2 tem no máximo 2 raízes reais, ou seja, é verdadeiro quando . Suponha que o resultado seja verdadeiro para um polinômio de grau , ou seja, um polinômio de grau tem no máximo raízes reais.
Suponha agora que é um polinômio de grau com raízes reais: e .
Como o grau de é , o grau de é e também será contínua e diferenciável em qualquer lugar, pois é uma função polinomial.
Seja um número inteiro de a , como , pelo teorema de Rolle, existe um número em tal que . Temos os números com de modo que .
Portanto é um polinômio de grau que tem raízes reais. Isso contradiz a hipótese de que um polinômio de grau tem no máximo raízes reais. Dessa forma, concluímos que um polinômio de grau tem no máximo raízes reais.
Como mostramos que o resultado é verdadeiro quando e se é verdadeira quando , então é verdade para , segue-se do princípio da indução matemática que o resultado é verdadeiro para todo número inteiro positivo .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)