Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 3

Suponha que lhe foi dada uma fórmula para uma função .

Como você determina onde é crescente ou decrescente?

Como você determina onde o gráfico de é côncavo para cima ou para baixo?

Como você localiza os pontos de inflexão?

Passo 1

Oie, tudo bem? 😊

Essa é uma questão teórica, que vai nos ajudar a fixar alguns conceitos úteis sobre alguns aspectos de funções. Mas o que queremos fazer?

Bem, a questão assume que você conhece a expressão de uma função , e quer que a gente diga como fazemos para determinar alguns aspectos dessa função, tais como:

Onde ela cresce ou decresce (intervalos de crescimento ou decrescimento).
Onde ela se curva para cima ou para baixo (intervalos de concavidade).
Onde ela muda de curvatura (pontos de inflexão).

Para isso, vamos relembrar alguns testes envolvendo a primeira e a segunda derivada da função pois são eles que nos ajudam a determinar esses aspectos.

Vamos responder cada item do enunciado nos próximos passos, beleza?

Passo 2

Item (a): Como você determina onde é crescente ou decrescente?

Bem, podemos usar o Teste Crescente/Decrescente para isso. Para isso, primeiro precisamos obter a primeira derivada da função .

Em seguida, fazemos a seguinte análise:

Se em um intervalo, então é crescente nele.
Se em um intervalo, então é decrescente nele.

Pronto!

Passo 3

Item (b): Como você determina onde o gráfico de é côncavo para cima ou para baixo?

Neste caso, usamos o Teste da Concavidade. Porém, para usar esse teste precisamos da segunda derivada da função .

Em seguida, fazemos a seguinte análise:

Se para todo em , então o gráfico de é côncavo para cima em .
Se para todo em , então o gráfico de é côncavo para baixo em .

Estamos indo bem, né? Agora falta só o último item.

Passo 4

Item (c): Como você localiza os pontos de inflexão?

Os pontos de inflexão são os pontos onde o gráfico de muda a direção da sua concavidade.

Portanto, para localizar os pontos de inflexão:

Calcule a segunda derivada da função.
Encontre os pontos onde ou onde não está definida.
Verifique se muda de sinal nesses pontos. Se mudar, esses pontos são pontos de inflexão da função .