Mostre que (0, 0) é um ponto crítico de ƒ(x, y) = x2 + kxy + y2,

não importando qual o valor da constante k. (Sugestão: considere dois casos: k = 0 e k Z 0.)

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, mostraremos que ( 0,0 ) é um ponto crítico de f ( x , y ) = x 2 + k x y + y 2 , não importando qual seja o valor k . Acompanhe com atenção a solução a seguir!

Passo 2

Primeiro: se k = 0 , então f ( x , y ) = x 2 + k x y + y 2 se reduz a:

f ( x , y ) = x 2 + y 2

E as derivadas parciais serão:

f x ( x , y ) = 2 x = 0 f y ( x , y ) = 2 y = 0

Chegamos à conclusão que

x = 0 y = 0

Temos, então, um único ponto crítico em ( 0,0 ) .

Passo 3

Segundo, se k ≠ 0 , veja então que as derivadas parciais de f ( x , y ) = x 2 + k x y + y 2 são:

f x ( x , y ) = 2 x + k y = 0 f y ( x , y ) = k x + 2 y = 0

Isolando y na primeira equação, temos:

y = - 2 k x

Substituindo na segunda equação:

k x + 2 - 2 k x = 0 k x - 4 x k = 0 k - 4 k x = 0

Passo 4

Chegamos à conclusão que

x = 0  ou  k = ± 2

Se x = 0 , temos a situação anterior, e o ponto ( 0,0 ) é um ponto crítico. Se k = ± 2 , então:

y = ± x

A reta y = ± x também passa pela origem ( 0,0 ) .

Passo 5

Assim, podemos concluir que, em qualquer caso, ( 0,0 ) é um ponto crítico para f ( x , y ) = x 2 + k x y + y 2 , não importando qual o valor de k .

Resposta

Resposta nos passos.

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