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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.7 - Ex. 58

Dentre todas as caixas retangulares de volume 27 cm3, qual é

a menor área de superfície?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Dentre todas as caixas retangulares fechadas de volume 27   c m 3 , qual possui menor área superficial? Acompanhe com atenção para verificar o resultado!

Passo 2

Seja a área superficial dada por S ( x , y , z ) = 2 x y + 2 y z + 2 x z , e o volume x y z = 27 , vamos reescrever x y z = 27 . Temos, então:

z = 27 x y

Substituindo em S ( x , y , z ) = 2 x y + 2 y z + 2 x z , teremos:

S ( x , y ) = 2 x y + 2 y 27 x y + 2 x 27 x y S ( x , y ) = 2 x y + 54 x + 54 y , x > 0 , y > 0

Faremos agora as primeiras derivadas parciais e igualaremos a zero:

S x ( x , y ) = 2 y - 54 x 2 = 0 S y ( x , y ) = 2 y - 54 y 2 = 0

O sistema dá como resposta o ponto ( 3,3 ) . Substituindo o ponto em x y z = 27 encontraremos z = 3 .Veja que, para identificarmos de que tipo o ponto crítico se trata, calcularemos as segundas derivadas parciais:

S x x ( 3,3 ) = 4 S y y ( 3,3 ) = 4 S x y ( 3,3 ) = 2

O teste então resultará em:

S x x S y y - S x y 2 = 12 > 0 S x x > 0

Temos, portanto, um local mínimo.Podemos verificar que a menor área ocorrerá quando ( x , y , z ) = ( 3,3 , 3 ) . Sua área superficial valerá: S ( 3,3 , 3 ) = 54 .

Resposta

Resposta nos passos.

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