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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.7 - Ex. 52

Encontre a distância mínima entre o ponto (2, –1, 1) e o plano

x + y – z = 2.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, precisamos encontrar a distância mínima do ponto ( 2 , - 1,1 ) ao plano x + y - z = 2 . Vamos ver como isso é possível?

Passo 2

Seja d = ( x , y , z ) = ( x - 2 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + ( z - 1 ) 2 a distância até a origem.Podemos minimizar d ( x , y , z ) , minimizando a função D ( x , y , z ) = ( x - 2 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + ( z - 1 ) 2 .

Passo 3

Desse modo, reescrevendo a função x + y - z = 2 , temos:

z = x + y - 2

E a função D ( x , y , z ) se torna então

D ( x , y ) = ( x - 2 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + ( x + y - 3 ) 2

Encontrando suas derivadas parciais e igualando a zero, temos:

D x ( x , y ) = 2 ( x - 2 ) + 2 ( x + y - 3 ) = 0 D y ( x , y ) = 2 ( y + 1 ) + 2 ( x + y - 3 ) = 0

E resolvendo a equação encontramos o ponto crítico 8 3 , - 1 3 . O valor z para esse ponto é z = 1 3

Agora, para sabermos de que tipo de ponto crítico se trata, temos que as segundas derivadas são:

D x x 8 3 , - 1 3 = 4 D y y 8 3 , - 1 3 = 4 D x y 8 3 , - 1 3 = 2

Assim, temos que:

D x x D y y - D x y 2 = 12 > 0 D x x > 0

Temos então um local mínimo.Podemos concluir que temos um local mínimo com valor d 8 3 , - 1 3 , 1 3 = 2 3 .

Resposta

Resposta nos passos.

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