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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.4 - Ex. 30

Mostre que um projétil atinge três quartos da sua altura máxima em metade do tempo para atingir sua altura máxima.

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Vamos juntos resolver essa questão de física, heheh

A gente vai demonstrar aqui que um projetil atinge 3 4 h m a x   no estante de tempo igual a t = t m a x 2 .

Bom, para que possamos começar a questão, precisamos inicialmente obter a função posição do nosso projétil. A mesma descreve uma trajetória inclinada, isto é, possui uma componente velocidade em x , o qual não está sujeito a ação de forças, e uma componente em y que está sujeito a aceleração da gravidade para baixo.

Desta forma, podemos utilizar as leis da física para obter a seguinte função posição:

r t = v 0 cos ⁡ θ t i + v 0 sen ⁡ θ t - g t 2 2 j

A altura máxima do projétil será atingida quando a componente j da velocidade, na direção do eixo y , for nula. Para obtermos a velocidade, precisamos derivar a nossa função.

Portanto, vamos as contas!

Passo 2

Vamos começar determinando a função velocidade do projétil. Desta forma,

v t = r ' t

Isso é, a equação da velocidade é a derivada da equação da posição em relação ao tempo:

v t = v 0 cos ⁡ θ i + v 0 sen ⁡ θ - g t j

A altura máxima será atingida no tempo t H m á x tal que:

v 0 sen ⁡ θ - g t H m á x = 0

Isso é, quando a componente j de velocidade for nula:

t H m á x = v 0 sen ⁡ θ g

Passo 3

Agora que determinamos o tempo para atingir a altura máxima, vamos calcular esta altura. Para isto, basta substituir o valor do tempo na equação da altura. Desta forma,

H m á x = v 0 sen ⁡ θ ⋅ v 0 sen ⁡ θ g - g v 0 sen ⁡ θ g 2 2

H m á x = v 0 2 sen 2 ⁡ θ g - v 0 2 sen 2 ⁡ θ 2 g

H m á x = v 0 2 sen 2 ⁡ θ 2 g

Passo 4

Vamos checar qual a altura que o projétil atinge após um tempo t tal que:

t = t H m á x 2

Sendo:

t H m á x = v 0 sen ⁡ θ g

Vamos ter então que:

t = v 0 sen ⁡ θ 2 g

Substituindo este tempo na equação da altura, temos:

H = v 0 sen ⁡ θ ⋅ v 0 sen ⁡ θ 2 g - g v 0 sen ⁡ θ 2 g 2 2

H = v 0 2 sen 2 ⁡ θ 2 g - v 0 2 sen 2 ⁡ θ 8 g

H = 3 v 0 2 sen 2 ⁡ θ 8 g

Logo, a proporção da altura atingida após passar a metade do tempo para atingir a altura máxima em relação a altura máxima é:

H H m á x = 3 v 0 2 sen 2 ⁡ θ 8 g v 0 2 sen 2 ⁡ θ 2 g

H H m á x = 3 4

Resposta

Demonstração.

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