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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 78b

Mostre que cada uma das seguintes funções é uma solução da equação da onda u t t = a 2 u x x .

(b) u = t / a 2 t 2 - x 2

Passo 1

Show de bola, galera!

A gente tem a equação da onda dada por:

u t t = a 2 u x x

E queremos provar que:

u = t a 2 t 2 - x 2

É solução dessa equação.

Não tem mistério....

Se repararmos bem a nossa equação diferencial parcial, precisaremos calcular somente u t t e u x x , e verificar se a equação é satisfeita. Simples assim.

Partiu fazer essas contas?

O que iremos fazer então é derivar u duas vezes em relação a t e duas vezes em relação a x e colocar na relação dada para provarmos o que nos foi pedido.

Veja que teremos que utilizar a regra do quociente aqui:

d d x u v = u v ' - u v ' v 2

Passo 2

Derivando primeiro então em relação a t :

u = t a 2 t 2 - x 2

u t = ∂ u ∂ t = ∂ ∂ t t a 2 t 2 - x 2

Aplicando a regra do quociente:

d d x u v = u v ' - u v ' v 2

u t = a 2 t 2 - x 2 - t 2 a 2 t a 2 t 2 - x 2 2

u t = - x 2 + a 2 t 2 a 2 t 2 - x 2 2

Agora vamos derivar de novo em relação a t , utilizando novamente a regra do quociente:

u t t = ∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ ∂ t ∂ u ∂ t = ∂ ∂ t - x 2 + a 2 t 2 a 2 t 2 - x 2 2

u t t = 2 t ( a 4 t 2 + 3 a 2 x 2 ) ( a 2 t 2 - x 2 ) 3

Agora vamos derivar em relação a x :

u x = ∂ u ∂ x = ∂ ∂ x t a 2 t 2 - x 2

d d x u v = u v ' - u v ' v 2

u x = 2 t x ( a 2 t 2 - x 2 ) 2

Agora iremos derivar de novo em relação a x :

u x x = ∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ u ∂ x

u x x = ∂ ∂ x 2 t x a 2 t 2 - x 2 2

u x x = a 2 t 2 - x 2 2 2 t - 2 x t 2 a 2 t 2 - x 2 - 2 x a 2 t 2 - x 2 4

u x x = 2 t a 2 t 2 - x 2 - x ( 2 ( - 2 x ) ) a 2 t 2 - x 2 3

u x x = 2 t ( a 2 t 2 + 3 x 2 ) ( a 2 t 2 - x 2 ) 3

Passo 3

Jogando na equação:

u t t = a 2 u x x ⇒     ?     2 t a 4 t 2 + 3 a 2 x 2 a 2 t 2 - x 2 3 = a 2 2 t a 2 t 2 + 3 x 2 a 2 t 2 - x 2 3

Vemos então que a igualdade foi satisfeita:

→ 2 t ( a 4 t 2 + 3 a 2 x 2 ) ( a 2 t 2 - x 2 ) 3 = 2 t ( a 4 t 2 + 3 a 2 x 2 ) ( a 2 t 2 - x 2 ) 3 ⏟ O K  

Resposta

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Seja f (x , y , z) = (1)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) . Verifique que(del^2 f)/(del x^2) + (del^2 f)/(del y^2) + (del^2 f)/(del z^2) = 0
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