Mostre que qualquer combinação linear x(t) = c1 * cos(wt) + c2 * sen(wt) pode também ser escrita na forma:

x(t) = A * cos(wt + theta), A = raiz(c_1^2 + c_2^2)

E:

sen(θ) = - (c₂ / A), cos(θ) = c₁ / A

Passo 1

Então galera, a solução que nos foi apresentada é a seguinte:

x t = c 1 cos ⁡ w t + c 2 s e n   w t

Como o enunciado quer que provemos algo utilizando QUALQUER combinação linear, então podemos escrever x t como uma combinação linear de A , saca só:

x t = c 1 cos ⁡ w t + c 2 s e n   w t

x t = A c 1 A cos ⁡ w t - - c 2 A s e n   w t

Note que temos a mesma função, ok? Apenas fizemos uma manipulação matemática! Show!

Passo 2

Agora que temos a nossa função nesse formato podemos fazer o seguinte:

c 1 A = cos ⁡ θ

- c 2 A = s e n   θ

O que nos dá:

x t = A cos ⁡ θ . cos ⁡ w t - s e n   θ . s e n   w t

Caso você não se lembre, da soma de arco duplo do cosseno temos que:

cos ⁡ a + b = cos ⁡ a . cos ⁡ b - s e n   a . s e n   b

Que é EXATAMENTE o que temos ali em cima! Transformando isso numa soma de arcos, teremos:

x t = A cos ⁡ θ . cos ⁡ w t - s e n   θ . s e n   w t = A . cos ⁡ ( w t + θ )  

Que é justamente a relação que queríamos encontrar! E está aí a demonstração, galera! 😉

Resposta

Demonstração.

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