Ache o centroide da região limitada pelas curvas.

y = x^3, x + y = 2, y = 0

Passo 1

Beleza galera, Yuri aqui e estarei ajudando a resolver essa atividade.

Nessa questão queremos encontrar o centroide delimitado pelas curvas. Para isso, iremos calcular as coordenadas exatas do centroide utilizando as definições do centroide utilizando integrais.

Baixo está o gráfico da região que iremos trabalhar:

Sendo y = 0 a curva vermelha, x + y = 2 a curva azul e y = x 3 a curva verde.

Por definição, temos que

x - = 1 A ∫ x 1 x 2 x f x d x

y - = 1 2 A ∫ x 1 x 2 f x 2 d x

Onde x -   e   y - são as coordenadas dos centroides, A é a área da região, e x 1 e x 2 o intervalo da região para qual estamos querendo encontrar o centroide.

Passo 2

Dessa forma, temos que

A = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 2 - x d x

= x 4 4 0 1 + 2 x - x 2 2 1 2 = 3 4

Veja que estamos dividindo a nossa integral em duas, estamos calculando primeiramente a área da região do gráfico da função y = x 3   até o encontro dela com a função y = 2 - x   , que acontece em x = 1   , depois calculamos a área da região do gráfico de y = 2 - x   . Podemos ver abaixo a divisão que iremos fazer em relação as duas regiões distintas que iremos trabalhar.

Passo 3

Calculando utilizando as definições do passo anterior, temos

x - = 4 3 ∫ 0 1 x x 3 d x + ∫ 1 2 x 2 - x d x

= 4 3 x 5 5 0 1 + 4 3 x 2 - x 3 3 1 2 = 52 45

y - = 4 6 ∫ 0 1 x 3 2 d x + ∫ 1 2 2 - x 2 d x

= 2 3 x 7 7 0 1 + 2 3 1 3 x - 2 3 1 2 = 20 63

Aqui também utilizamos o mesmo princípio da divisão das regiões como no passo anterior.

Resposta

x - ,   y - = 52 45 ,   20 63

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