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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 8.3 - Ex. 33

Ache o centroide da região limitada pelas curvas.

x = 5 - y^2 , x = 0

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos encontrar o centroide delimitado pelas curvas. Para isso, iremos calcular as coordenadas exatas do centroide utilizando as definições do centroide.

Passo 2

Por definição, temos que

overset(-)(x) = (1)/(A) int_(x 1)^(x 2) x f (x) d x

overset(-)(y) = (1)/(2 A) int_(x 1)^(x 2) f (x)^2 d x

Dessa forma, temos que

A = 2 int_0^5 (sqrt(5 - x)) d x = 2 [(2)/(3) (5 - x)^(3 // 2)]_0^5 = (20 sqrt(5))/(3)

Passo 3

Calculando utilizando as definições do passo anterior, temos

overset(-)(x) = (3)/(20 sqrt(5)) int_0^5 x (sqrt(5 - x) - (- sqrt(5 - x))) d x = (12)/(20 sqrt(5)) [(5)/(3) (sqrt(5 - x))^3 - (1)/(5) (sqrt(5 - x))^5]_0^5 = 2

overset(-)(y) = (3)/(40 sqrt(5)) int_0^5 [(sqrt(5 - x))^2 - (- sqrt(5 - x))^2] d x = 0

Resposta

(overset(-)(x) , overset(-)(y)) = (2 , 0)

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