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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.3 - Ex. 34

Calcule os momentos M x e M y e o centro de massa de uma lâmina com a densidade e o formato dados

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o momento do sistema e seu centro de massa com base no gráfico da função dada e sabendo que a densidade é ρ = 3 .

Para isso, vamos usar as definições dos momentos M x e M y :

M x = ρ ∫ a b 1 2 f x 2 d x

M y = ρ ∫ a b x f ( x ) d x

E calcularemos as coordenadas do centro de massa C m = x - ,   y - , dadas por:

x - = M y m

y - = M x m

Então, vamos encontrar a nossa função e substituir os valores que o enunciado nos deu nas equações dos momentos. Depois, vamos usar os valores dos momentos para calcular as coordenadas do centro de massa.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos observar o gráfico que ele nos deu:

Repare que temos 1 4 de um círculo e uma reta formando a nossa figura.

O quarto de círculo possui a seguinte equação:

y = 1 - x 2

E a reta, observando os pontos do gráfico, nos dá a seguinte equação:

y = x - 1

Podemos então escrever as integrais, substituindo essas funções, na forma:

M x = ρ ∫ 0 1 1 2 1 - x 2 2 - x - 1 2 d x

M y = ρ ∫ 0 1 x 1 - x 2 - x - 1 d x

Passo 3

Resolvendo as integrais, temos:

M x = 3 2 - 2 3 x 3 + x 2 0 1

M x = 1 2

E

M y = 3 - 1 3 1 - x 2 3 2 - 1 3 x 3 + 1 2 x 2 0 1

M y = 3 2

Substituindo esses valores nas coordenadas do centroide, temos:

x - = M y m = 3 2 3 4 π + 2

x - = 2 π + 2

E

y - = M x m = 1 2 3 4 π + 2

y - = 2 3 π + 2

Então, o nosso centro de massa se encontra no ponto C 2 π + 2 ,   2 3 π + 2 .

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

M x = 1 2

M y = 3 2

x - ,   y - = 2 π + 2 ,   2 3 π + 2

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