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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.3 - Ex. 31

Ache o centroide da região limitada pelas curvas.

y = s e n x , y = cos x , x = 0 , x = pi // 4

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos encontrar o centroide delimitado pelas curvas. Para isso, iremos calcular as coordenadas exatas do centroide utilizando as definições do centroide.

Passo 2

Por definição, temos que

overset(-)(x) = (1)/(A) int_(x 1)^(x 2) x f (x) d x

overset(-)(y) = (1)/(2 A) int_(x 1)^(x 2) f (x)^2 d x

Dessa forma, temos que

A = int_0^(pi // 4) (cos x - s e n x) d x = [s e n x + cos x]_0^(pi // 4) = sqrt(2) - 1

Passo 3

Calculando utilizando as definições do passo anterior, temos

overset(-)(x) = (1)/(sqrt(2) - 1) int_0^(pi // 4) x (cos x - s e n x) d x = (1)/(sqrt(2) - 1) [x s e n x + xcos x + cos x - s e n x]_0^(pi // 4) = ((1)/(4) pi sqrt(2) - 1)/(sqrt(2) - 1)

overset(-)(y) = (1)/(2 (sqrt(2) - 1)) int_0^(pi // 4) [(cos x)^2 - (s e n x)^2] d x = (1)/(4 (sqrt(2) - 1)) [s e n 2 x]_0^(pi // 4) = (1)/(4 (sqrt(2) - 1))

Resposta

(overset(-)(x) , overset(-)(y)) = ((pi sqrt(2) - 4)/(4 ( sqrt(2) - 1 )) , (1)/(4 (sqrt(2) - 1)))

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