Investigar as integrais impróprias.

Passo 1

Uma integral representa a área sob a curva da dada função que está como o integrando. A integral imprópria possui o mesmo ideal, no entanto ela é representada por uma área indefinida, visto que o intervalo de integração possui pelo menos um valor em que a função não está definida.

Por conta disso, a integral não pode ser resolvida diretamente, necessitando da aplicação de um limite e da substituição do intervalo de integração por um intervalo que conterá uma nova variável, esta que irá tender ao valor para o qual a função não é definida.

Quando o valor no qual isso ocorre é um número inteiro, deve-se verificar os limites laterais a esse ponto para verificar se o limite existe ou não.

Passo 2

Dito isso, seguindo as dicas dadas tem-se:

I = ∫ 0 5 x d x 25 - x 2

E pretende-se verificar:

l i m a → 5 - ∫ 0 a x d x 25 - x 2 = l i m b → 5 + ∫ 0 b x d x 25 - x 2

A integral pode ser resolvida através do método da substituição simples em que u = 25 - x 2 e d u = - 2 x d x :

∫ x d x 25 - x 2 = ∫ 1 u - d u 2 = - u

Substituindo para a variável original, tem-se:

I - = l i m a → 5 - - 25 - x 2 | a 0

Substituindo os limites de integração:

I - = - l i m a → 5 - 25 - a 2 - 25 = - 0 - - 5

I - = 5

E:

I + = - l i m b → 5 + 25 - b 2 - 25 = - 0 + - 5

Como os limites laterais têm o mesmo resultado, então o limite existe.

Passo 3

Ainda, dependendo do resultado da integral imprópria é possível tirar duas conclusões sobre o seu comportamento: caso o resultado seja um número inteiro, então o limite existe e a integral converge (é convergente); caso contrário e ela resulte em ± ∞ , o limite não existe e a integral diverge (é divergente).

Para este caso, o limite existe e, logo, a integral é convergente.

Resposta

∫ 0 5 x d x 25 - x 2 = 5

A integral é convergente.

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