Investigar as integrais impróprias.

Passo 1

Uma integral representa a área sob a curva da dada função que está como o integrando. A integral imprópria possui o mesmo ideal, no entanto ela é representada por uma área indefinida, visto que o intervalo de integração possui pelo menos um valor em que a função não está definida.

Por conta disso, a integral não pode ser resolvida diretamente, necessitando da aplicação de um limite e da substituição do intervalo de integração por um intervalo que conterá uma nova variável, esta que irá tender ao valor para o qual a função não é definida.

Quando o valor no qual isso ocorre é um número inteiro, deve-se verificar os limites laterais a esse ponto para verificar se o limite existe ou não.

Passo 2

Dito isso, seguindo as dicas dadas tem-se:

I = ∫ 0 3 d x 9 - x 2

E pretende-se verificar:

l i m a → 3 - ∫ 0 a d x 9 - x 2 = l i m b → 3 + ∫ 0 b d x 9 - x 2

A integral pode ser resolvida da seguinte forma:

∫ d x 3 2 - x 2 = a r c s e n x 3

Então:

I - = l i m a → 3 - a r c s e n x 3 | a 0

Substituindo os limites de integração:

I - = l i m a → 3 - a r c s e n a 3 - a r c s e n 0 = π 2 - 0

I - = π 2

E:

I + = l i m b → 3 + a r c s e n b 3 - a r c s e n 0 = π 2

Como os limites laterais têm o mesmo resultado, então o limite existe.

Passo 3

Ainda, dependendo do resultado da integral imprópria é possível tirar duas conclusões sobre o seu comportamento: caso o resultado seja um número inteiro, então o limite existe e a integral converge (é convergente); caso contrário e ela resulte em ± ∞ , o limite não existe e a integral diverge (é divergente).

Para este caso, o limite existe e, logo, a integral é convergente.

Resposta

∫ 0 3 d x 9 - x 2 = π 2

A integral é convergente.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados