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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.15 - Ex. 14c

Investigar as integrais impróprias.

Passo 1

Uma integral representa a área sob a curva da dada função que está como o integrando. A integral imprópria possui o mesmo ideal, no entanto ela é representada por uma área indefinida, visto que o intervalo de integração possui pelo menos um valor em que a função não está definida.

Por conta disso, a integral não pode ser resolvida diretamente, necessitando da aplicação de um limite e da substituição do intervalo de integração por um intervalo que conterá uma nova variável, esta que irá tender ao valor para o qual a função não é definida.

Quando o valor no qual isso ocorre é um número inteiro, deve-se verificar os limites laterais a esse ponto para verificar se o limite existe ou não.

Passo 2

Dito isso, seguindo as dicas dadas tem-se:

I = int_0^3 (d x)/(sqrt(9 - x^2))

E pretende-se verificar:

underset(a -> 3^-)(l i m) int_0^a (d x)/(sqrt(9 - x^2)) = underset(b -> 3^+)(l i m) int_0^b (d x)/(sqrt(9 - x^2))

A integral pode ser resolvida da seguinte forma:

int (d x)/(sqrt(3^2 - x^2)) = a r c s e n ((x)/(3))

Então:

I^- = underset(a -> 3^-)(l i m) [a r c s e n ((x)/(3))] | [[a],[0]]

Substituindo os limites de integração:

I^- = underset(a -> 3^-)(l i m) [a r c s e n ((a)/(3)) - a r c s e n (0)] = [(pi)/(2) - 0]

I^- = (pi)/(2)

E:

I^+ = underset(b -> 3^+)(l i m) [a r c s e n ((b)/(3)) - a r c s e n (0)] = (pi)/(2)

Como os limites laterais têm o mesmo resultado, então o limite existe.

Passo 3

Ainda, dependendo do resultado da integral imprópria é possível tirar duas conclusões sobre o seu comportamento: caso o resultado seja um número inteiro, então o limite existe e a integral converge (é convergente); caso contrário e ela resulte em +- oo , o limite não existe e a integral diverge (é divergente).

Para este caso, o limite existe e, logo, a integral é convergente.

Resposta

int_0^3 (d x)/(sqrt(9 - x^2)) = (pi)/(2)

A integral é convergente.

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