Verificar que underset(r -> 0)(l i m) [int_(- 1)^r (d x)/(x) + int_r^1 (d x)/(x)] = 0 , mas a integral imprópria int_(- 1)^1 (d x)/(x) diverge.

Passo 1

Para resolver este exercício é possível simplesmente calcular o limite dado no enunciado e definir se o resultado coincide com o esperado.

Ainda, deve-se determinar o meio pelo qual mostra que a integral é divergente.

Passo 2

Dito isso, seguindo as dicas dadas tem-se:

underset(r -> 0)(l i m) [int_(- 1)^r (d x)/(x) + int_r^1 (d x)/(x)]

Visto que a integral pode ser resolvida como:

int (d x)/(x) = ln |x|

E retornando à variável original:

= underset(r -> 0)(l i m) [ln |x| | [[r],[-,1]] + ln |x| | [[1],[r]]]

Substituindo os limites de integração:

= underset(r -> 0)(l i m) [ln r - ln 1 + ln 1 - ln r] = 0

Passo 3

A primeira parte do exercício foi resolvida, tal que o resultado encontrado foi igual ao dado pelo enunciado.

Agora, para a segunda parte pode-se analisar apenas o limite de uma das integrais, obtendo então:

underset(r -> 0^-)(l i m) int_(- 1)^r (d x)/(x) = underset(r -> 0^-)(l i m) ln |x| | [[r],[-,1]]

underset(r -> 0^-)(l i m) (ln |r| - ln 1) = + oo

Assim, como um dos limites já não existe, é possível concluir que a integral é divergente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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