Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 41
Mostre que, se queremos aproximar a soma da série de maneira que o erro seja menor que 5 na nona casa decimal, então precisamos somar mais que termos!
Passo 1
Bom, pessoal, o que o enunciado quer basicamente é que calculemos quantos termos precisamos somar nessa série pra que o erro seja menor que .
Pra sua sorte, tem uma definição prontinha pra isso no livro!
Vamos chamar nosso erro de e ele tem que ser menor que o limite que o enunciado dá:
E vamos definir uma função associada ao termo geral da nossa série:
Então temos que:
Estranho, feio, assustador! Sim, eu sei! Mas eu juro que vai ser mais simples do que você pensa. E aqui só vamos trabalhar com a parte direita dessa inequação:
Aplicando na nossa função:
Show de bola! Chega de blá-blá-blá e vamos calcular essa integral. Depois vamos comparar com a nossa tolerância de erro, pra descobrir o valor de .
Passo 2
Como essa integral é imprópria, vamos escrever ela. Trocamos o limite superior por uma variável finita e depois fazemos o limite dessa variável tendendo ao infinito :
Integrando:
Agora vamos ao limite:
Ufa! Finalmente achamos que:
Passo 3
Agora vamos comparar esse ultimo resultado encontrado:
Com a tolerância do enunciado:
Pra garantir ficar dentro da tolerância, vamos dizer que:
Rearrumando:
Ou seja, precisamos somar termos da série pra obter uma aproximação pra soma com erro menor que .