Use as seguintes etapas para mostrar que a sequência

t_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n - ln(n)

tem um limite. (O valor do limite é denotado por gamma e é chamado constante de Euler.)

(a) Desenhe uma figura como a Figura 6 com f(x) = 1 / x e interprete t_n como uma área [ou use 5 ] para mostrar que t_n > 0 para todo n .

(b) Interprete

t_n - t_{n+1} = [ln(n+1) - ln(n)] - 1/(n+1)

como uma diferença de áreas para mostrar que t_n - t_(n+1) > 0 . Portanto {t_n} é uma sequência decrescente.

(c) Use o Teorema da Sequência Monótona para mostrar que {t_n} é convergente.

Passo 1

(a) Galera, vamos fazer o seguinte desenho:

Aqui podemos ver que:

∫ 1 n + 1 1 x   d x < 1 + 1 2 + 1 3 + … + 1 n

ln ⁡ n + 1 < 1 + 1 2 + 1 3 + … + 1 n

1 + 1 2 + 1 3 + … + 1 n > ln ⁡ n + 1 > ln ⁡ n

1 + 1 2 + 1 3 + … + 1 n - ln ⁡ n > 0

t n > 0

Passo 2

(b) Agora olha essa figura:

Ou seja, podemos escrever:

∫ n n + 1 1 x   d x > 1 n + 1

ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ n > 1 n + 1

ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ n - 1 n + 1 > 0

t n - t n + 1 > 0

Portanto t n é uma sequência decrescente.

Passo 3

(c) Nós já mostramos que { t n } é decrescente e que t n > 0 , ou seja,

0 < t n ≤ t 1 = 1

Portanto, t n é uma sequência decrescente e limitada, o que nos faz concluir, pelo Teorema da Sequência Monótona, que t n converge.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados