Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 44

Use as seguintes etapas para mostrar que a sequência

t n = 1 + 1 2 + 1 3 + … + 1 n - ln ⁡ n

tem um limite. (O valor do limite é denotado por γ e é chamado constante de Euler.)

(a) Desenhe uma figura como a Figura 6 com f x = 1 x e interprete t n como uma área [ou use 5 ] para mostrar que t n > 0 para todo n .

(b) Interprete

t n - t n + 1 = ln ⁡ n + 1 - ln ��� n - 1 n + 1

como uma diferença de áreas para mostrar que t n - t n + 1 > 0 . Portanto t n é uma sequência decrescente.

(c) Use o Teorema da Sequência Monótona para mostrar que t n é convergente.

Passo 1

(a) Galera, vamos fazer o seguinte desenho:

Aqui podemos ver que:

∫ 1 n + 1 1 x   d x < 1 + 1 2 + 1 3 + … + 1 n

ln ⁡ n + 1 < 1 + 1 2 + 1 3 + … + 1 n

1 + 1 2 + 1 3 + … + 1 n > ln ⁡ n + 1 > ln ⁡ n

1 + 1 2 + 1 3 + … + 1 n - ln ⁡ n > 0

t n > 0

Passo 2

(b) Agora olha essa figura:

Ou seja, podemos escrever:

∫ n n + 1 1 x   d x > 1 n + 1

ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ n > 1 n + 1

ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ n - 1 n + 1 > 0

t n - t n + 1 > 0

Portanto t n é uma sequência decrescente.

Passo 3

(c) Nós já mostramos que { t n } é decrescente e que t n > 0 , ou seja,

0 < t n ≤ t 1 = 1

Portanto, t n é uma sequência decrescente e limitada, o que nos faz concluir, pelo Teorema da Sequência Monótona, que t n converge.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre um valor de n tal que s n represente a soma com precisão de 0,00001 .
Encontre a soma parcial s 10 da série ∑ n = 1 ∞ 1 / n 4 . Estime o erro cometido ao usar s 10 como uma aproximação para a soma da série.
Melhore essa estimativa usando (3) com n = 10 .
Use a soma dos dez primeiros termos para estimar a soma da série ∑ n = 1 ∞ 1 / n 2 . Quão boa é essa estimativa?
Utilize (3) com n = 10 para dar uma estimativa melhorada da soma.