Se ∑ a n for convergente e ∑ b n , divergente, mostre que a série ∑ a n + b n é divergente. [Sugestão: Argumente por contradição.]

Passo 1

Fala, meus amigos!

Então, galera...Eu não sei vocês, mas pra mim parece meio óbvio o que devemos provar. Se eu somar algo que vai para o infinito (e além) com algo que tende a uma constante, obviamente essa soma também irá para o infinito, certo?

Beleza...Mas....Como provar isso? Como usar a tal sugestão de argumentar por contradição?

Bom, argumentar por contradição nada mais é que um método lógico usado para provar que uma afirmação é verdadeira, mostrando que a suposição contrária leva a uma contradição lógica.

Basicamente assumimos uma hipótese contrária a que estamos procurando provar e no final vamos perceber que aquilo não faz sentido, é absurdo, contraditório, o que implica que a afirmação original deve ser verdadeira.

Passo 2

Vamos definir nossa hipótese inicial:

Bom...Sabemos que, se 2 séries (Got e TBBT) ∑ a n e ∑ b n são convergentes, então ∑ a n + b n também será. E é aí que aproveitamos a perspicácia do nosso mascote Dexter...

Vamos fazer o seguinte....Já sabemos que ∑ a n é uma série convergente. Vamos assumir, por um instante, que ∑ a n + b n seja uma série convergente.

∑ a n + ∑ b n = ∑ a n + b n

Passo 3

Para finalizar, vamos entender se essa hipótese faz sentido ou se é absurda:

Agora vamos isolar o ∑ b n . Vamos que ali dentro da soma ∑ ( a n + b n ) - a n nossos dois termos a n vão se cancelar. Entãããooo, pelo que acabamos de dizer:

∑ a n + b n ⏟ c o n v e r g e n t e - a n ⏟ c o n v e r g e n t e = ∑ b n ⏟ D I V E R G E N T E ‼ !  

Como ∑ b n convergente pode ser igual a ∑ b n divergente? Como acabamos de perceber, provamos, por absurdo que é impossível que ∑ a n + b n seja uma série convergente, sendo portanto, uma série divergente.

Resposta

Demosntração feita na resolução.

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