Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 85

Se for convergente e , divergente, mostre que a série é divergente. [Sugestão: Argumente por contradição.]

Passo 1

Fala, meus amigos!

Então, galera...Eu não sei vocês, mas pra mim parece meio óbvio o que devemos provar. Se eu somar algo que vai para o infinito (e além) com algo que tende a uma constante, obviamente essa soma também irá para o infinito, certo?

Beleza...Mas....Como provar isso? Como usar a tal sugestão de argumentar por contradição?

Bom, argumentar por contradição nada mais é que um método lógico usado para provar que uma afirmação é verdadeira, mostrando que a suposição contrária leva a uma contradição lógica.

Basicamente assumimos uma hipótese contrária a que estamos procurando provar e no final vamos perceber que aquilo não faz sentido, é absurdo, contraditório, o que implica que a afirmação original deve ser verdadeira.

Passo 2

Vamos definir nossa hipótese inicial:

Bom...Sabemos que, se 2 séries (Got e TBBT) e são convergentes, então também será. E é aí que aproveitamos a perspicácia do nosso mascote Dexter...

Vamos fazer o seguinte....Já sabemos que é uma série convergente. Vamos assumir, por um instante, que seja uma série convergente.

Passo 3

Para finalizar, vamos entender se essa hipótese faz sentido ou se é absurda:

Agora vamos isolar o . Vamos que ali dentro da soma nossos dois termos vão se cancelar. Entãããooo, pelo que acabamos de dizer:

Como convergente pode ser igual a divergente? Como acabamos de perceber, provamos, por absurdo que é impossível que seja uma série convergente, sendo portanto, uma série divergente.