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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 10

Mostre que a reta:

b 2 x x 1 - a 2 y y 1 - a 2 b 2 = 0

é tangente à hipérbole b 2 x 2 - a 2 y 2 - a 2 b 2 = 0 no ponto x 1 ,   y 1 na hipérbole.

Passo 1

Vem comigo pessoal!!

Relembrando que uma hipérbole é o conjunto de pontos em um plano cujas distâncias a partir de dois pontos fixos nesse plano têm uma diferença constante. Os dois pontos fixos são os focos da hipérbole.

Se considerarmos que a reta tangente à hipérbole no ponto P = x 1 ,   y 1 é:

r : x = x 1 + m t y = y 1 + n t

Pelo enunciado, temos a equação:

b 2 x 2 - a 2 y 2 - a 2 b 2 = 0

Substituindo a reta tangente:

b 2 x 1 + m t 2 - a 2 y 1 + n t 2 - a 2 b 2 = 0

b 2 x 1 2 + 2 x 1 m t + m 2 t 2 - a 2 y 1 2 + 2 y 1 n t + n 2 t 2 - a 2 b 2 = 0

b 2 x 1 2 + 2 b 2 x 1 m t + b 2 m 2 t 2 - a 2 y 1 2 - 2 a 2 y 1 n t - a 2 n 2 t 2 - a 2 b 2 = 0

Juntando os termos de t 2 e t :

b 2 m 2 - a 2 n 2 t 2 + 2 x 1 m b 2 - 2 y 1 n a 2 t + b 2 x 1 2 - a 2 y 1 2 - a 2 b 2 = 0

Passo 2

Como b 2 x 1 2 - a 2 y 1 2 = a 2 b 2 e b 2 m 2 - a 2 n 2 ≠ 0 , temos que:

2 x 1 b 2 m - 2 y 1 a 2 n = 0

Ou seja, m ,   n ⊥ 2 x 1 b 2 ,   2 y 1 a 2 . Logo x 1 b 2 ,   - y 1 a 2 é perpendicular à reta r :

r :   b 2 x x 1 - a 2 y y 1 - a 2 b 2 = 0

Prontinho pessoal, até mais.

Resposta

Resposta no Passo.

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