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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 21

Os Exercícios 19-22 fornecem as excentricidades das seções cônicas com um foco na origem do plano de coordenadas polares, com a diretriz para aquele foco. Encontre uma equação polar para cada seção cônica.

e = 1 / 2 ,   r sen ⁡ θ = 2

Passo 1

Oiii galerinha. Sabemos que a excentricidade para:

  • Elipse e < 1 ;
  • Parábola e = 1 ;
  • Hipérbole e > 1 .

    • A seguinte equação polar representa uma seção cônica:

    As equações que relacionam as coordenadas polares e cartesianas são:

    Para a gente entender melhor, vamos observar um exemplo de cada tipo de equação polar:

  • Elipse:

    • r = k 2 + cos ⁡ θ

    Onde e = 1 / 2   ( e < 1 ) .

  • Parábola:

    • r = k 1 + cos ⁡ θ

    Onde e = 1 .

  • Hipérbole:

r = 2 k 1 + 2 cos ⁡ θ

Onde e = 2   ( e > 1 ) .

Passo 2

Então vamos lá, como no nosso enunciado, sabemos que e = 1 / 2 e r sen ⁡ θ = 2 . Sendo assim a diretriz está no eixo y :

y = k = 2

Logo:

r = 1 2 ∙ 2 1 + 1 2 sen ⁡ θ

r = 1 1 + 1 2 sen ⁡ θ

Multiplicando o numerador e o denominador por dois:

r = 2 2 + sen ⁡ θ

Resposta

r = 2 2 + sen ⁡ θ

Exercícios de Livros Relacionados

Represente graficamente os pontos (dados em coordenadas polares). Em seguida, encontre todas as coordenadas polares de cada um dos pontos.a. ( 2 , π / 2 ) b. ( 2,0 ) c. ( - 2 , π / 2 ) d. ( - 2,0 )
Quais pares de coordenadas polares representam o mesmo ponto?a. ( - 2 , π / 3 ) b. ( 2 , π / 3 ) c. ( r , θ ) d. ( r ,θ + π ) e. ( - r , θ ) f. ( 2 , - 2 π / 3 ) g. ( - r ,θ + π ) h. ( - 2,2 π / 3 )
Substitua as equações polares nos Exercícios 27-52 por equações cartesianas equivalentes. Em seguida, descreva ou identifique o gráfico.38. r2 s e n2 θ = 2
Substitua as equações polares nos Exercícios 27-52 por equações cartesianas equivalentes. Em seguida, descreva ou identifique o gráfico.32. r=- 3 s e cθ
Quais pares de coordenadas polares representam o mesmo ponto?a. ( 3,0 ) b. ( - 3,0 ) c. ( 2,2 π / 3 ) d. ( 2,7 π / 3 ) e. ( - 3 , π ) f. ( 2 , π / 3 ) g. ( - 3,2 π ) h. ( - 2 , - π / 3 )