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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 1.1 - Ex. 52

Mostre que y 1 = 2 x + 2   e   y 2 = - x 2 2 são ambas soluções para

y = x y ' + y ' 2 2

As funções c 1 y 1   e   c 2 y 2 , com c 1 e   c 2 constantes arbitrárias são também soluções? A soma y 1 + y 2 é uma solução?

Passo 1

E aí, tudo joia?

Bom, a gente quer saber se   y 1 = 2 x + 2     e     y 2 = - x 2 2   são soluções da equação y = x y ' + y ' 2 2 . Para saber isso, a gente tem que substituir os termos da equação e ver se temos uma igualdade verdadeira.

Vamos fazer cada caso separadamente...

Primeiro y 1 = 2 x + 2 .

Temos:

y 1 ' = 2

Passo 2

Substituindo agora:

y = x y ' + y ' 2 2

2 x + 2 = x 2 + 4 2

2 x + 2 = 2 x + 2

Então vimos que y 1 = 2 x + 2   é solução!

Passo 3

Agora vamos ver y 2 =   - x 2 2 . Temos:

y 2 ' = - x

E substituindo...

y = x y ' + y ' 2 2

- x 2 2 = x - x + x 2 2

- x 2 2 = - x 2 2

Então y 2 = - x 2 2 também é solução!

Passo 4

Agora a gente tem que ver se c 1 y 1   e   c 2 y 2 são soluções também. Vamos ver então...

f 1 = c 1 ( 2 x + 2 )

f 1 ' = 2 c 1

Testando na equação:

y = x y ' + y ' 2 2

2 c 1 x + 2 c 1 = 2 c 1 x + 2 c 1 2 2

2 c 1 x + 2 c 1 ≠ 2 c 1 x + 2 c 1 2

Ops! Então c 1 y 1 não é solução!

Passo 5

E agora c 2 y 2 :

f 2 = - c 2 x 2 2

f 2 ' = - c 2 x

Jogando na equação:

y = x y ' + y ' 2 2

- c 2 x 2 2 = x - c 2 x + - c 2 x 2 2

- c 2 x 2 2 ≠ - c 2 x 2 + c 2 2 x 2 2

Vish... também não é solução!

Passo 6

Agora só falta saber se y 1 + y 2 é solução. Vamos ver...

g = y 1 + y 2 = 2 x + 2 - x 2 2

Aí teremos:

g ' = 2 - x

Vamos substituir na equação:

y = x y ' + y ' 2 2

2 x + 2 - x 2 2 = x 2 - x + 2 - x 2 2

2 x + 2 - x 2 2 = 2 x - x 2 + x 2 2 - 2 x + 2

2 x + 2 - x 2 2 ≠ - x 2 2 + 2

E prontinho! Essa também não é solução😉

Resposta

y 1   e   y 2 são soluções; c 1 y 1 ,   c 2 y 2   e   y 1 + y 2 não são soluções.

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