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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 1.1 - Ex. 18

Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes).

2 x y   d x + x 2 + 2 y d y = 0 ;     x 2 y + y 2 = c 1

Passo 1

Fala aí, tudo bem?

Aqui pra começar, temos que escrever a equação da forma diferencial. Pra isso, vamos dividir tudo por d x :

2 x y d x d x + x 2 + 2 y   d y d x = 0

2 x y + x 2 + 2 y d y d x = 0

Beleza, agora a gente precisa descobrir o que é d y d x . Pra isso a gente tem que derivar implicitamente a expressão x 2 y + y 2 = c 1 . Bora lá!

Passo 2

Derivando implicitamente a expressão x 2 y + y 2 = c 1 :

2 x y + x 2 d y d x + 2 y   d y d x = 0

d y d x x 2 + 2 y = - 2 x y

d y d x =   - 2 x y x 2 + 2 y

Beleza! Bora substituir na equação agora!

Passo 3

Substituindo d y d x aqui:

2 x y + x 2 + 2 y d y d x = 0

2 x y + x 2 + 2 y - 2 x y x 2 + 2 y = 0

Simplificando...

2 x y - 2 x y = 0

0 = 0

Encontramos uma igualdade verdadeira! Então a função é uma solução da equação diferencial😉

Resposta

É solução.

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