Determine a velocidade, a aceleração e a rapidez da partícula cuja função posição é dada. Esquematize o caminho da partícula e desenhe os vetores velocidade e aceleração para os valores de t especificados.

r(t) = 〈2 - t, 4 * raiz(t)〉, t = 1

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função vetorial que representa a posição r de uma partícula:

r → t = 2 - t , 4 t

Queremos determinar as expressões para a velocidade, a aceleração e a rapidez da partícula cuja função posição é dada.

Para isso, a partir das equações paramétricas do vetor posição, podemos encontrar o vetor velocidade através da derivação de cada componente.

Também podemos repetir o mesmo processo para encontrar o vetor aceleração. Após isso, substituindo o tempo dado teremos a velocidade e aceleração naquele ponto.

Em seguida, deveremos esboçar o caminho da partícula e desenhar os vetores velocidade e aceleração para t = 1 .

Passo 2

Derivando componente a componente do vetor posição dado temos:

d d t r → t = d d t 2 - t , d d t 4 t

v → t = - 1 , 2 t

Substituindo o ponto dado, t = 1 , temos:

v → 1 = - 1 , 2 1

v → 1 = - 1,2

Passo 3

Derivando componente a componente do vetor velocidade temos:

d d t v → t = d d t - 1 , d d t 2 t

a → t = 0 ,   - 1 t 3 / 2

Substituindo o ponto dado, t = 1 , temos:

a → 1 = 0 ,   - 1 1 3 / 2

a → 1 = 0 , - 1  

Quando t = 1 , a posição da partícula é:

r → 1 = 1,4

Passo 4

Para fins de esboço, podemos calcular as normas dos vetores velocidade:

v → 1 = - 1 2 + 2 2

v → 1 = 1 + 4

v → 1 = 5  

Também faremos o mesmo para a aceleração:

a → 1 = 0 2 + - 1 2

a → 1 = 0 + 1

a → 1 = 1  

Esboçando temos:

Resposta

Os vetores velocidade e aceleração no ponto dado são:

v → 1 = - 1,2

a → 1 = 0 , - 1

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