Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.8 - Ex. 13
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da serie
Passo 1
Vamos lá meu caro amigo, uma questão em que temos que encontrar o raio e intervalo de convergência de uma série de potência. Como eu sei que é uma série de potência?Ora, repare que existe um elemento do tipo , que funciona como uma variável que pode assumir qualquer valor. Isso significa que é uma série de potência, e que precisamos encontrar quais os valores de farão essa série convergir.
E como fazemos isso? Podemos aplicar algum dos métodos de análise de convergência. Agora preste atenção que darei uma dica pra lá de especial.
Vamos nos recordar o que é o teste da razão?
Uma série qualquer, chamada de , será convergente se:
Será divergente se:
Caso
Então o teste não é conclusivo.
Agora que já entendemos o que será feito.
Partiu colocar a mão na massa!!!
Passo 2
A gente pode começar fazendo o teste da razão.
Temos que
Então
Passo 3
Agora a gente faz
E isso vai dar
Se a gente dividir em cima e em baixo na fração por , temos
Calculando o limite:
Pelo teste da razão, a nossa série
converge quando
Então o raio é .
Passo 4
Agora vamos ver o intervalo de convergência. Vamos verificar os pontos de extremidade.
Quando . Teremos a seguinte série:
Pelo teste da comparação, vamos criar uma série com os elementos de maior potência no numerador e no denominador.
Sabemos que p teste de comparação por limite define que ambas convergem ou ambas divergem quando o limite da razão é .Fazendo
Calculando o limite:
Dividindo numerador e denominador por
Então sabemos que ambos convergem, ou ambos divergem, precisamos agora investigar
A série
É uma p-série do tipo:
Guarde bem essa informação, séries desse tipo só são convergente quando .
Portanto a nossa série diverge, porque é uma p-série com
Passo 5
Quando , a série se torna:
Podemos ver que essa é uma série alternada. Vamos lembrar que para testar se uma série alternada converge podemos criar uma série associada que conterá apenas os valores absolutos da série original.
E verificar duas condições.
- Se a série é decrescente.
Se ambas as condições forem satisfeitas, então a série converge.
Calculando o limite:
Dividindo numerador e denominador por
Calculando o limite:
Além disso, podemos ver que a série é decrescente uma vez que no denominador temos o termo e no numerador apenas . Por isso o denominador avança em direção ao infinito mais rápido que o numerador.
Então a série é convergente. E o intervalo é: