Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 82
Mostre que a sequência definida por
satisfaz e é decrescente. Deduza que a sequência é convergente e encontre seu limite.
Passo 1
E aê, galera? Nessa questão queremos mostrar que a sequência do enunciado satisfaz e é decrescente, certo? Depois a questão pede para deduzirmos que é convergente e encontrarmos seu limite.
Resumindo, vamos precisar fazer os seguintes passos:
- Mostrar que a sequência do enunciado é decrescente e satisfaz
- Deduzir que é convergente;
- Calcularmos seu limite.
Show? Então vamos láááá!!!!
Passo 2
Primeiro vamos provar que a sequência é decrescente, usando indução. Igual nas questões anteriores, a ideia é provar que a afirmação é verdadeira para o primeiro número natural (no caso, ) e, em seguida, assumir que é verdadeira para um número qualquer e provar que ela é verdadeira para . Com isso, concluímos que a afirmação é verdadeira para todos os números naturais. Sacou?
A afirmação que queremos provar é que , para todo . Então, primeiro, vamos verificar se vale pra , beleza?
Para :
Então a afirmação vale para . Beleza?
Agora, a gente supõe que vale para :
Se a partir dessa suposição, a gente conseguir provar que vale para ou seja, que , então completamos a indução, beleza?
Usando a hipótese , vamos multiplicar ambos os lados da desigualdade por para inverter os sinais, preservando a desigualdade. Isso nos dá
Adicionando em ambos os lados da desigualdade:
Considerando o inverso de ambos os lados da desigualdade
Que é o mesmo que
Então acabamos de provar por indução que a sequência é decrescente!
Passo 3
Show! Agora, bora mostrar que a sequência satisfaz ?
Como e a sequência é decrescente, então com certeza . Agora também usaremos indução pra provar que . Como , a afirmação já vale pra , né?
Agora, vamos supor que vale pra :
Será que vale pra ?
Adicionando a ambos os lados da desigualdade,
Tomando o inverso de ambos os lados da desigualdade, temos
Que é o mesmo que
Ou seja, isso significa que o próximo termo da sequência é positivo. Portanto, a relação estabelecida para também se mantém para . Então está provado!
Passo 4
Agora queremos deduzir que a sequência é convergente. Para isso, existe um teorema (Teorema da Sequência Monótona) que nos diz que toda sequência monótona (crescente ou decrescente) e limitada é convergente, ou seja, tem um limite.
Como já dito, nossa sequência satisfaz as condições do Teorema, pois é monótona (decrescente) e limitada (). Então, isso mostra que é convergente!
Passo 5
Agora vamos ao cálculo do limite da sequência. Pra isso, podemos tomar o limite no infinito dos dois lados da equação que mostra a relação de recorrência entre os termos da sequência:
Tomando os limites, temos
Lembrando que podemos usar o seguinte fato para sequências convergentes:
Assim,
Usando a propriedade de continuidade:
Pra ficar mais intuitivo de resolver essa equação, vamos chamar o limite de , beleza?
Como o primeiro termo da sequência é e a sequência é decrescente, o limite jamais poderia ser maior do que , então eliminamos a raiz o que nos dá:
Show de bolaa?!