Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 92
(a) Mostre que, se e , então é convergente e .
(b) Se e
encontre os oito primeiros membros da sequência . Então use a parte (a) para mostrar que . Isso dá a expressão em frações contínuas
Passo 1
(a) Galera, aqui estamos tratando da sequência e de suas duas subsequências e . Mas como assim subsequências?
Olha só, você concorda que representam números pares? E que representam números ímpares? Então, é como se pegasse só os termos pares da sequência , e pegasse só os termos ímpares dessa mesma sequência.
Ou seja, é como se pudesse ser dividida em duas sequências “menores”, duas subsequências, e , certo?
Então, se o limite dessas subsequências é o mesmo, podemos dizer que a sequência também converge pra esse limite:
Passo 2
(b) Vamos calcular os oito primeiros termos dessa sequência:
Passo 3
Galera, pra provar que o limite da sequência é usando o raciocínio do item (a), vamos trocar por na equação que define a sequência:
Agora vamos tomar o limite nos dois lados:
Se o limite existe, então podemos escrever :
Como , o limite só pode ser positivo, então:
Beleza?
Resposta
(b)