Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.1 - Ex. 76
Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?
Passo 1
Ei, gênio dos números! Preparado para usar todo seu poder de cálculo nessa questão matemática?
Primeiramente, devemos fazer uma análise da sequência dada e determinar se ela é crescente, decrescente ou não monótona. Além disso, determinar se essa sequência é limitada. Vamos nessa?!
Para saber se a sequência é crescente, decrescente ou não monótona, podemos supor que ela é decrescente, e ver se não chegamos a nenhum absurdo.
Então, começamos com a desigualdade que é uma condição para a sequência ser decrescente:
Substituindo e pelos valores na sequência dada, ficaremos com:
Agora vamos mexer nisso aí pra ver se o que a gente encontra é verdadeiro ou falso.
Passo 2
Simplificando a expressão, dividindo ambos os lados por , teremos:
(Obs: Como é positivo para todo , manteremos a direção da desigualdade)
Olha só! Chegamos numa inequação verdadeira, pois, do lado esquerdo, temos um número entre e , e estamos afirmando que ele é menor do que .
Então, a sequência é realmente decrescente!
Passo 3
Será que a sequência é limitada? Bom, o que limita a sequência superiormente é o termo , pois a sequência é decrescente, então é impossível ter algum número maior do que . Pra sabermos se ela também é limitada inferiormente, temos que calcular o limite:
Usando L’Hôpital acima, descobrimos que a sequência é limitada inferiormente por .
Se ela é limitada inferiormente e superiormente, podemos dizer que é limitada, beleza?
Resposta
Decrescente, limitada