Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.1 - Ex. 77
Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?
Passo 1
Tudo certo, pessoal? Mais uma questão para colocarmos a mão na massa! Bora!
Aqui a gente precisa começar entendendo se nossa sequência é:
- Crescente: se cada termo subsequente da sequência é maior que o anterior.
- Descrescente: se cada termo subsequente da sequência é menor que o anterior.
- Não monótona: se a sequência não é nem crescente nem decrescente, ou seja, seus termos oscilam.
Para isso precisamos calcular e e compará-los.
Depois vamos tentar entender se ela é limitada: se os seus termos não ultrapassarem certos limites superiores e inferiores. Para isso podemos calcular seu limite e observar seus termos.
Passo 2
Vamos começar pela primeira análise:
Vamos calcular que é com .
Abrindo o termo = 1
Fazendo a soma:
Passo 3
Vamos então tentar comparar e :
A gente supõe que , ou seja, que a sequência é crescente e vemos se é verdade:
Passamos os numeradores para os lados opostos multiplicando:
Fazendo nossas multiplicações:
Resolvendo nossa inequação eliminando termos iguais de lados opostos, temos:
Bora descobrir pra quais valores de essa inequação é verdadeira? Como se trata de uma inequação de segundo grau, vamos precisar das raízes:
Raízes:
Como a concavidade da parábola é pra cima, a inequação só é verdadeira entre aproximadamente os valores de e .
E sabe o que isso significa? Para , a inequação é falsa sempre, então é verdade justamente o oposto do que supomos. Ou seja, a sequência é decrescente!
Passo 4
Será que a sequência é limitada?
Bom, o que limita a sequência superiormente é o termo , pois a sequência é decrescente, então é impossível ter algum número maior do que .
Pra sabermos se ela também é limitada inferiormente, temos que calcular o limite:
Dividindo numerador e denominador por para simplificação:
Então, teremos:
Então é limitada inferiormente por 0.
Se ela é limitada inferiormente e superiormente, podemos dizer que é limitada, certo?
Resposta
Decrescente, limitada.