Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 81
Mostre que a sequência definida por
é crescente e que para todo . Deduza que é convergente e calcule seu limite.
Passo 1
E aê, galera? Tudo certinho? Nessa questão queremos mostrar que a sequência do enunciado é crescente e que para todo , certo? Depois a questão pede para deduzirmos que é convergente e calcularmos seu limite.
Ou seja, vamos ter os seguintes passos:
- Mostrar que a sequência do enunciado é crescente e que para todo
- Deduzir que é convergente;
- Calcularmos seu limite.
Bora lá então?
Passo 2
Primeiro vamos provar que a sequência é crescente, usando indução. MAS O QUE É ISSO??
A ideia é provar que a afirmação é verdadeira para o primeiro número natural (no caso, ) e, em seguida, assumir que é verdadeira para um número qualquer e provar que ela é verdadeira para . Com isso, concluímos que a afirmação é verdadeira para todos os números naturais. Sacou?
Então vamos lá! A afirmação que queremos provar é que , para todo . Então, primeiro, vamos verificar se vale pra , beleza?
Para :
Então a afirmação vale para ! Lindo lindo?!
Agora, a gente supõe que vale para :
Se a partir dessa suposição, a gente conseguir provar que vale para ou seja, que , então completamos a indução, show de bola?
Usando a hipótese :
Então acabamos de provar por indução que a sequência é crescente!
Passo 3
Show! Agora também usaremos indução pra provar que . Como , a afirmação já vale pra , né?
Agora, vamos supor que vale pra :
Será que vale pra ?
Sim, vale! Então está provado.
Passo 4
Agora queremos deduzir que a sequência é convergente.
Já provamos que a sequência é crescente e que é limitada superiormente por . Como ela está sempre crescendo, o primeiro termo é quem a limita inferiormente. Sendo assim, podemos dizer que ela é limitada, certo?
Existe um teorema (Teorema da Sequência Monótona) que nos diz que toda sequência monótona (crescente ou decrescente) e limitada é convergente, ou seja, tem um limite. Como já dito, nossa sequência satisfaz as condições do Teorema, pois é monótona (crescente) e limitada. Então, isso mostra que é convergente, ok?
Passo 5
Agora falta calcularmos o limite da sequência. Pra isso, podemos tomar o limite no infinito dos dois lados da equação que mostra a relação de recorrência entre os termos da sequência:
Tomando os limites, temos
Lembrando que podemos usar o seguinte fato para sequências convergentes:
Assim,
Usando a propriedade de continuidade:
Pra ficar mais intuitivo de resolver essa equação, vamos chamar o limite de , beleza?
Como o primeiro termo da sequência é e a sequência é crescente, o limite jamais poderia ser menor do que , então eliminamos a raiz o que nos dá: