Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.5 - Ex. 25

Mostre que a série é convergente. Quantos termos da série precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisão indicada: e ?

Passo 1

Fala, galera! Beleza pura?

Bom, aqui vamos precisar responder duas perguntas. A primeira é sobre a convergência da série:

Se olharmos para nossa série um termo chama a atenção: , pois esse termo vai alternar entre transformar o valor dos termos da soma em positivos e negativos, conforme vamos variando . Chamamos esse tipo de série de série alternada e existe um método para analisar a convergência de séries especialmente para esse tipo de série: o Teste da Série Alternada, que nos traz que se a série alternada:

Onde , atender às nossas duas condições:

para todo

Então a série é convergente.

Pra finalizar a questão quer saber quantos termos da série precisamos somar para que a diferença entre essa soma parcial e a soma total da série seja menor que . O erro para séries alternadas se calcula assim:

Bora??

Passo 2

Vamos começar pelo Teste da Série Alternada. Nossa sequência será:

Lembra que temos dois critérios para o teste? Vamos aplicar o (ii):

Começando pelo nosso numerador vemos que ele é constante e igual a 1, enquanto nosso denominador vai crescer muito com . Por isso, teremos:

A série cumpre o requisito (ii) do Teste.

Passo 3

Mas para nossa série ser alternada precisamos que (i) também seja verdadeiro, ou seja, nosso deve ser decrescente:

Nesse caso um numerador constante, que não muda. Já nosso denominador fica cada vez maior conforme o valor de cresce. É claro que conforme for aumentando o divisor do mesmo número, ele fica cada vez menor, então podemos dizer que é decrescente e .

Como nossa série respeitou as duas condições do Teste, ela é convergente.

Passo 4

Vamos escrever os termos da nossa soma, até achar que seja menor que o erro que estamos procurando. Escrevendo alguns termos por extenso, teremos:

Resolvendo algumas dessas frações:

Para :

Viu como é menor que o erro que estamos procurando? Como:

Então então . Então, pelo Teorema de Aproximação da Série alternada, como o quarto termo é menor que o erro desejado, podemos aproximar o valor da série com esse erro usando três termos.