Mostre que a série é convergente. Quantos termos da série precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisão indicada: ∑ n = 0 ∞ - 1 n 10 n . n ! e e r r o ≤ 0,000005 ?

Passo 1

Fala, galera! Beleza pura?

Bom, aqui vamos precisar responder duas perguntas. A primeira é sobre a convergência da série:

∑ n = 0 ∞ - 1 n 10 n n !

Se olharmos para nossa série um termo chama a atenção: - 1 n , pois esse termo vai alternar entre transformar o valor dos termos da soma em positivos e negativos, conforme vamos variando n . Chamamos esse tipo de série de série alternada e existe um método para analisar a convergência de séries especialmente para esse tipo de série: o Teste da Série Alternada, que nos traz que se a série alternada:

∑ n = 1 ∞ - 1 n b n

Onde b n > 0 , atender às nossas duas condições:

  1. b n + 1 ≤ b n para todo n  
  2. lim n → ∞ ⁡ b n = 0

Então a série é convergente.

Pra finalizar a questão quer saber quantos termos da série precisamos somar para que a diferença entre essa soma parcial e a soma total da série seja menor que 0,000005 . O erro para séries alternadas se calcula assim:

R n ≤ b n + 1

Bora??

Passo 2

Vamos começar pelo Teste da Série Alternada. Nossa sequência será:

b n = 1 10 n n !

Lembra que temos dois critérios para o teste? Vamos aplicar o (ii):

lim n → ∞ ⁡ 1 10 n n !

Começando pelo nosso numerador vemos que ele é constante e igual a 1, enquanto nosso denominador vai crescer muito com n → ∞ . Por isso, teremos:

lim n → ∞ ⁡ 1 10 n n ! = 0

A série cumpre o requisito (ii) do Teste.

Passo 3

Mas para nossa série ser alternada precisamos que (i) também seja verdadeiro, ou seja, nosso b n deve ser decrescente:

b n = 1 10 n n !

Nesse caso um numerador constante, que não muda. Já nosso denominador fica cada vez maior conforme o valor de n cresce. É claro que conforme for aumentando o divisor do mesmo número, ele fica cada vez menor, então podemos dizer que b n é decrescente e b n + 1 ≤ b n .

Como nossa série respeitou as duas condições do Teste, ela é convergente.

Passo 4

Vamos escrever os termos da nossa soma, até achar que seja menor que o erro que estamos procurando. Escrevendo alguns termos por extenso, teremos:

∑ n = 0 ∞ - 1 n 10 n . n ! =   1 - 1 10 + 1 10 2 . 2 ! - 1 10 3 . 3 ! + 1 10 4 . 4 ! - …

Resolvendo algumas dessas frações:

Para n = 3 :

b 3 = 1 10 3 . 3 !   = 1 6000 ≃   0,00016

Para n = 4 :

b 4 = 1 10 4 . 4 !   = 1 240000 ≃ 0,0000041

Viu como b 4 é menor que o erro que estamos procurando? Como:

R n ≤ b n + 1

Então b n + 1 = b 4 então b n = b 3 . Então, pelo Teorema de Aproximação da Série alternada, como o quarto termo é menor que o erro desejado, podemos aproximar o valor da série com esse erro usando três termos.

Resposta

Série convergente. Soma deve ser feita usando os quatro primeiros termos.

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