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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.3 - Ex. 34

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

w = z e x y z

Passo 1

E aí, galera! Tudo bem?

Nessa questão nós temos a função f x , y , z e queremos determinar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, f x ( x , y , z ) , f y x , y , z e f z ( x , y , z ) .

Para calcular a derivada parcial em relação a x , f x , vamos tratar y e z como constante. Da mesma forma, para calcular f y , vamos tratar x   e z   como uma constante. Aplicamos o mesmo raciocínio para calcular f z , mantendo x e y constantes.

Beleza? Então vem comigo.

Passo 2

O problema pede para acharmos as derivadas parciais da função

w = z   e x y z

Para as derivadas com relação a x e y , usamos apenas a regra da cadeia.

Vamos lembrar essa importante regra (no contexto dessa questão) antes de continuar: se você quiser derivar a função

f x = e u x

Segundo a regra da cadeia, f ' ( x ) é

f ' x = d d x e u x

f ' x = e u x ⋅   d d x u x

Vamos às contas:

f x = ∂ w ∂ x

f x = ∂ ∂ x ( z e x y z )

Lembrando de tratar y   e z como constantes, obtemos:

f x = z   e x y z ⋅ d d x ( x y z )

f x = y z 2 e x y z

Agora vamos derivar com relação a y (mantendo x e z fixos)

f y = ∂ w ∂ y

f y = ∂ ∂ y ( z e x y z )

Aqui aplicamos a regra da cadeia:

f y = z   e x y z ⋅ d d y ( x y z )

f y = x z 2 e x y z

Passo 3

Já para a derivada com relação a z , usamos a regra do produto: Se h x = f x ⋅ g ( x ) , então

h ' ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g x + f x ⋅ g ' ( x )

Dessa forma,

f z = ∂ w ∂ z

∂ w ∂ z = 1 ⋅ e x y z + z ⋅ e x y z ⋅ x y

∂ w ∂ z = 1 + x y z e x y z

Resposta

∂ w ∂ x = y z 2 e x y z

∂ w ∂ y = x z 2 e x y z

∂ w ∂ z = 1 + x y z e x y z

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