Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 26
Quantos termos da série precisamos adicionar para encontrar a soma parcial com a precisão indicada?
26-
Passo 1
E aí, pessoal? Como vai?
A questão quer saber quantos termos da nossa série precisaremos somar para que haja uma diferença menor que 0,01 entre esse valor estimado e o valor da soma total da nossa série:
Percebe como o termo intercala entre valores positivos e negativos conforme muda o valor de ? Então, estamos diante de uma série alternada.
O bizu aqui é começar determinando a convergência pelo Teste da Série Alternada, afinal, uma série só tem uma soma total se convergir. Retomando esse conceito:
Se a série alternada:
Onde , atender às nossas duas condições:
- para todo
Então a série é convergente.
Já para encontramos o erro de séries alternadas e convergentes, usamos o Teorema da Estimativa da Série Alternada. Esse teorema traz pra gente a seguinte expressão para o erro:
O termo é o resto, a diferença entre a soma total da série e a soma parcial até certo termo . Esse resto pode ser visto como um erro de precisão na estimativa da soma parcial e no nosso caso aqui o enunciado dá:
Voltando na inequação que o teorema que citei nos dá, ficamos com:
Traduzindo, precisamos achar um termo que seja maior que o erro 0,002.
Podemos então calcular vários valores de , que são termos da série, até acharmos um termo cujo valor é menor que o erro que a questão pede. Daí vamos saber que o termo anterior a esse é o que satisfaz a condição de ser maior que 0,002.
Bora lá!
Passo 2
Vamos fazer o teste da série alternada para:
Vamos ver se ela é decrescente como pede o critério (i). Fazendo:
Substituindo:
Vamos jogar o termo maior para o lado esquerdo da inequação:
Podemos separa os expoentes e as frações e escrever:
Dividindo termos iguais no numerador e denominador e simplificando:
Multiplicando 4 dos dois lados da inequação:
Ficamos com:
Isolando nossa incógnita, encontramos:
O que satisfaz, uma vez que a série começa em . Então é verdade que e a série é decrescente.
Requisito (i) garantido.
Passo 3
Vamos testar a condição (ii) do Teste. Agora vamos aplicar o limite para tendendo a infinito:
Aplicando L’Hopital e resolvendo o limite, temos:
Logo essa série pelo teste da série alternada temos que é uma série convergente.
Passo 4
Para estimar o erro, fazemos:
Pro nosso caso, vamos ter:
Vamos calculando os termos de até acharmos um que satisfaça nossa inequação acima:
Para
Para
Para
Vamos pular para nosso valor procurado para agilizarmos aqui, pois acho que deu para entender a lógica do processo:
Para
Como:
Nosso é . Para que o erro seja menor que devemos somar então os 5 primeiros termos da série.