Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 24
Quantos termos da série precisamos adicionar para encontrar a soma parcial com a precisão indicada?
Passo 1
Vamos lá, primeiramente precisaremos saber que para estimar erro em séries é possível utilizar o teorema da estimativa de séries alternadas. Porém, só podemos aplicar o teorema mencionado se soubermos que a série é de fato uma série alternada convergente.Então iremos testar se a série é alternada e convergente, e caso for possível, aplicaremos o teorema da estimativa das somas. Agora que ficou claro o procedimento, vamos começar a execução.
Passo 2
Essa série é uma série alternada. Basta escrevermos alguns termos de sua soma que ficará claro que os termos se revezam entre positivos e negativos da seguinte forma:
Agora que sabemos que é uma série alternada, precisamos saber se é convergente. Para isso precisamos testar duas situações:
(Significa que cada termo da série tem que ser menor que o termo anterior. Considerando apenas o módulo do valor. E não o sinal.)
Sendo o valor absoluto de cada termo da série. Vou te explicar melhor:
A série possui termos, e cada um desses termos possui um sinal, ou positivo ou negativo, de acordo com o numerador. A partir disso, iremos criar uma outra série chamada de que considerará apenas o valor em módulo.
Fazendo esse teste na série dada. Temos que:
Ou seja, essa situação é verdadeira.
Então temos que é a série desconsiderando as alterações de sinal do numerador. Ou seja:
Então:
Ou seja, a segunda situação também é verdadeira.Como ambos os testes deram resultado verdadeiro. Sabemos que a série é convergente.
Passo 3
O teorema da estimativa de séries alternadas diz que:
Sendo que é o erro, enquanto que se refere ao próximo termo da série que considera apenas os valores em módulo.
Basicamente, o que o teorema diz é que:
Se o enunciado quer que encontremos o . Temos que encontrar o último valor de que seja maior que .
Dessa forma cada termo adiciona uma precisão a soma da série de forma que:
Dessa forma precisamos adicionar os primeiros termos.
Uma outra forma de visualizarmos é procurarmos qual o primeiro valor de :
Então a quantidade de corretas de termos. É uma anterior a encontrada por esse método.
Ou seja . Em que