Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 6
Teste a série para convergência ou divergência.
6-
Passo 1
E aí, pessoal? Como vai?
Nossa questão quer saber se essa série converge ou diverge.
A primeira coisa que nos “salta aos olhos” olhando para essa série é o termo . Pensa bem: quando é par esse termo fica negativo e quando é ímpar fica positivo. Ou seja, o sinal vai alternando de termo em termo. Então, podemos dizer que temos uma série alternada. Para analisar séries alternadas podemos usar o Teste da Série Alternada, que diz que:
Se a série alternada:
Onde , atender às nossas duas condições:
- para todo
Então a série é convergente.
Passo 2
Testando o critério (i) do nosso Teste, que basicamente diz que tem que ser decrescente.
Fazendo a derivada dessa função no domínio de nós teremos:
Pela regra da cadeia temos que:
Para uma função ser decrescente:
O que nos dará negativa em todo o intervalo indo de até infinito (é assim que se prova matematicamente que a função é decrescente, para funções mais brabas isso vai ser importantíssimo).
Passo 3
Teste o critério (ii): Agora vamos fazer o teste da convergência em fazendo o limite de tendendo a infinito.
Bem, não tem muito que explicar nela, simplesmente vamos ter e isso tende a zero. Simples assim.
Vimos então que os dois testes dão positivo, fazendo com que a série alternada convirja.
Resposta
Série convergente.