Teste a série para convergência ou divergência.

4-

1 / ln(2) - 1 / ln(3) + 1 / ln(4) - 1 / ln(5) + 1 / ln(6) + ...

Passo 1

A série alternada começa com n = 2 e tem sinal positivo no primeiro termo, logo podemos escrever a sequência da seguinte forma:

∑ n = 2 ∞ - 1 n 1 ln ⁡ n

Onde a série que vamos observar será:

b n = 1 ln ⁡ n

Agora podemos fazer os devidos testes para essa série:

-Ela ser uma série positiva e decrescente, isso é, a derivada da função no domínio x tem que ser negativa

- O seu limite com n tendendo a infinito convergir para zero.

Passo 2

Nesse caso não precisamos fazer a derivada pois conseguimos ver:

ln ⁡ 3 > ln ⁡ 2

ln ⁡ 4 > ln ⁡ 3

…  

O que nos dá em:

1 ln ⁡ 3 < 1 ln ⁡ 2

1 ln ⁡ 4 < 1 ln ⁡ 3

Isso o próximo termo sempre será menor que o anterior, ou seja:

b n + 1 < b n

O que passa no teste.

Passo 3

Agora fazendo o limite temos:

lim n → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ n

A função l n é daquelas funções que crescem lentamente mas não param de crescer nunca mais logo podemos dizer que:

lim n → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ n = 0

Como os dois quesitos do teste da série alternada deram ok, então podemos dizer que a série converge.

Resposta

A série converge.

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