Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 42
(a) Mostre que a série é convergente.
(b) Encontre um limitante superior para o erro na aproximação
(c) Qual é o menor valor de tal que esse limitante superior seja menor que ?
(d) Encontre para esse valor de .
Passo 1
Fala, galerinha! Tudo tranquilo?
Nossa questãozinha tem 4 partes e vamos fazer cada uma delas nos próximos passos. Vamos nesse primeiro passo entender o que precisamos fazer:
Primeiro, para analisar a convergência ou divergência da série, vamos aplicar o Teste da integral:
Suponha que seja uma função contínua, positiva e decrescente em e seja . Então a série é convergente se, e somente se, a integral imprópria for convergente. Em outras palavras:
(i) Se for convergente, então é convergente.
(ii) Se for divergente, então é divergente
Depois encontramos o erro :
Para calcular o erro , temos:
Caso não se lembre, quando temos uma integral imprópria, que é o nosso caso, para resolvermos temos que aplicar o seguinte limite:
Vamos continuar usando esses conceitos ao decorrer da questão.
Bora lá?
Passo 2
(a) Galera, temos que é uma função contínua e positiva para . Também temos:
Se , então , o que preenche os requisitos para podermos aplicar o Teste da Integral já que a derivada ser menor que zero significa que a função é decrescente.
Se usarmos um CAS, obteremos:
Então a série realmente converge.
Passo 3
(b) Já que o Teste da Integral é aplicável, podemos escrever:
Passo 4
(c) Usando um CAS, podemos resolver a seguinte inequação:
Passo 5
(d) Novamente, usando um CAS, podemos obter a soma dos primeiros termos:
Resposta
(b)
(c)
(d)