Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 42

(a) Mostre que a série é convergente.

(b) Encontre um limitante superior para o erro na aproximação

(c) Qual é o menor valor de tal que esse limitante superior seja menor que ?

(d) Encontre para esse valor de .

Passo 1

Fala, galerinha! Tudo tranquilo?

Nossa questãozinha tem 4 partes e vamos fazer cada uma delas nos próximos passos. Vamos nesse primeiro passo entender o que precisamos fazer:

Primeiro, para analisar a convergência ou divergência da série, vamos aplicar o Teste da integral:

Suponha que seja uma função contínua, positiva e decrescente em e seja . Então a série é convergente se, e somente se, a integral imprópria for convergente. Em outras palavras:

(i) Se for convergente, então é convergente.

(ii) Se for divergente, então é divergente

Depois encontramos o erro :

Para calcular o erro , temos:

Caso não se lembre, quando temos uma integral imprópria, que é o nosso caso, para resolvermos temos que aplicar o seguinte limite:

Vamos continuar usando esses conceitos ao decorrer da questão.

Bora lá?

Passo 2

(a) Galera, temos que é uma função contínua e positiva para . Também temos:

Se , então , o que preenche os requisitos para podermos aplicar o Teste da Integral já que a derivada ser menor que zero significa que a função é decrescente.