Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.7 - Ex. 13
Prove o Teorema 9.7.2 completando o argumento a seguir. De acordo com o teorema de Green no plano, se C for uma curva fechada simples suficientemente suave, e se F e G forem funções contínuas com derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então
em que C é percorrida no sentido trigonométrico e R é a região limitada por C. Suponha que x = ϕ(t), y = ψ(t) é uma solução periódica do sistema (15) com período T. Seja C a curva fechada dada por x = ϕ(t), y = ψ(t) para 0 ≤ t ≤ T. Mostre que, para essa curva, a integral de linha é nula. Depois, mostre que a conclusão do Teorema 9.7.2 tem que seguir.
Passo 1
Beleza! Antes de mais nada, nós sabemos que:
Então, substituindo esses valores na integral do lado esquerdo do enunciado, temos:
Passo 2
Então, como o enunciado nos forneceu a igualdade entre as integrais, nós temos que:
E, para que isso seja verdade em uma região de área qualquer não nula, devemos ter:
Passo 3
Sendo assim, com as duas funções possuindo o mesmo sinal, para satisfazer essa condição, devemos ter . Dessa forma, isso significa de que não há curva fechada na região delimitada por C.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)