Prove o Teorema 9.7.2 completando o argumento a seguir. De acordo com o teorema de Green no plano, se C for uma curva fechada simples suficientemente suave, e se F e G forem funções contínuas com derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então

∫ C   F x , y d y - G x , y d x = ∫ ∫ R   F x x , y - G y x , y d A

em que C é percorrida no sentido trigonométrico e R é a região limitada por C. Suponha que x = ϕ(t), y = ψ(t) é uma solução periódica do sistema (15) com período T. Seja C a curva fechada dada por x = ϕ(t), y = ψ(t) para 0 ≤ t ≤ T. Mostre que, para essa curva, a integral de linha é nula. Depois, mostre que a conclusão do Teorema 9.7.2 tem que seguir.

Passo 1

Beleza! Antes de mais nada, nós sabemos que:

F x , y = d x d t

G x , y = d y d t

Então, substituindo esses valores na integral do lado esquerdo do enunciado, temos:

∫ C   F x , y d y - G x , y d x = ∫ C   d x d t d y - d y d t d x = ∫ C   0 = 0

Passo 2

Então, como o enunciado nos forneceu a igualdade entre as integrais, nós temos que:

∫ ∫ R   F x x , y - G y x , y d A = 0

E, para que isso seja verdade em uma região de área qualquer não nula, devemos ter:

F x - G y = 0 → F x = G y

Passo 3

Sendo assim, com as duas funções possuindo o mesmo sinal, para satisfazer essa condição, devemos ter F x = G x = 0 . Dessa forma, isso significa de que não há curva fechada na região delimitada por C.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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