Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.7 - Ex. 6

Em cada um dos problemas de 1 a 6, um sistema autônomo está expresso em coordenadas polares. Determine todas as soluções periódicas, todos os ciclos limites e suas características de estabilidade.

d r d t = r r - 2 r - 3 ,     d θ d t = - 1

Passo 1

Beleza! Vamos começar encontrando os pontos críticos da equação dada, então, temos:

d r d t = r r - 2 r - 3 = 0

Daqui temos três possibilidades:

r = 0

r - 2 = 0 → r = 2

r - 3 = 0 → r = 3

Então, temos 3 pontos críticos, são eles:

r 1 = 0 ; r 2 = 2 ;   r 3 = 3

Passo 2

Então, teremos:

0 < r < 3 → d r d t < 0

r > 3 → d r d t > 0

Dessa forma, temos que r = 0 corresponde a um ponto crítico assintoticamente estável. Já no ponto r = 2 temos um ponto semi-estável e r = 3 é um ponto instável.

Passo 3

E, os ciclos limites por sua vez são dados por:

r = 2 ; d θ d t = - 1

r = 3 ; d θ d t = - 1

Então, teremos:

r = 2 ;   d θ d t = - 1 → θ = - t + t 0

Que é semi-estável. E para r = 3 temos:

r = 3 ;   d θ d t = - 1 → θ = - t + t 0

Que é instável.

Resposta

r 1 = 0   a s s i n t o t i c a m e n t e   e s t á v e l

r 2 = 2   ( s e m i - e s t á v e l )

r 3 = 3   ( i n s t á v e l )

r = 2 ;   θ = - t + t 0   ( s e m i - e s t á v e l )

r = 3 ; θ = - t + t 0   i n s t á v e l

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

15.(a) Seja c=3,8 . Encontre os pontos críticos e os autovalores correspondentes.(b) Desenhe a trajetória que começa no ponto ( 1 ,0 ,- 2 ) . Observe que o ciclo limite agora é um 4-ciclo. Encontre o
12. (a) Seja c=1,3 . Encontre os pontos críticos e os autovalores correspondentes. O que você pode concluir dessa informação, se é que pode concluir alguma coisa?(b) Desenhe a trajetória que começa na
x ' = - y - z ,y ' = x + a y ,z ' = b + z x - c em que a, b e c são parâmetros positivos, é conhecido como o sistema de Rössler. 20 É um sistema relativamente simples que consiste em duas equações lin
Considere o elipsoide.Determine uma condição suficiente sobre c para que toda trajetória cruzando V(x, y, z) = c esteja orientada para dentro. Calcule a condição encontrada no caso em que σ = 10, b =
Considere o elipsoide.Calcule dV/dt ao longo das trajetórias das equações de Lorenz (1).