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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 37

Mostre que a solução geral de y^(4) – y = 0 pode ser escrita como

.

Determine a solução que satisfaz as condições iniciais y(0) = 0, y′(0) = 0, y′′(0) = 1, y′′′(0) =1

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução da nossa equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser lembrar que:

y = e r t

y ' = r e r t

y ' ' = r ² e r t

y ' ' ' = r ³ e r t

y 4 = r 4 e r t

r 4 - 1   = 0

r = - 1 ,   1   ,   ± i

y t = C 1 e - t + C 2 e t + C 3 e - i t + C 4 e i t

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

y 0 = 0

y 0 ' = 0

y 0 ' ' = 1

y 0 ' ' ' = 1

C 1 = - 1 2

C 2 = - 1 2

C 3 = 1 2

C 4 = 1 2

y t = 1 2 ( cosh ⁡ t + sinh ⁡ t - cos ⁡ t - sin ⁡ t )

Resposta

y t = 1 2 ( cosh ⁡ t + sinh ⁡ t - cos ⁡ t - sin ⁡ t )

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