Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.4 - Ex. 24
24 . Mostre que, se y = ϕ(t) é uma solução de y′ + p(t)y = 0, então y = cϕ(t) também é solução para qualquer valor da constante c.
Passo 1
- Esses exercícios de “verifique que a função é solução” , existe dois métodos de provar que estamos certos. Um é realmente integrar e descobrir que ambos os lados são iguais. O outro – para mim o mais fácil – é aplicar a solução na diferencial e derivar. Derivar é sempre mais fácil que integrar
Vamos então agora derivar a função
O enunciado nos diz que
y′ + p(t)y = 0
Logo podemos concluir escrever que
Passo 2
Agora vamos provar que multiplicando por uma constante temos de novo nossa equação diferencial original.
Logo usando a relação do enunciado teríamos
y′ + p(t)y = 0
Ou seja conseguimos chegar na mesma relação entre e isso prova que multiplicar por uma constante arbitraria não muda a expressão da nossa solução. Nem a equação diferencial resultante.
Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução
: )
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 ec 2 são constantes). y ' ' + 25 y = 0 ;y = c 1 cos 5 x
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 ec 2 são constantes). y ' ' + y = tg x ;y = - cos x ln s e cx + tg x
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 ec 2 são constantes). x 2 y ' ' - x y ' + 2 y = 0 ; y = x cos ln x , x0
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 ec 2 são constantes). y ' ' - 6 y ' + 13 y = 0 ; y = e 3 x cos 2 x
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 ec 2 são constantes). d 2 y d x 2 - 4 d y d x + 4 y = 0 ;y = e 2 x + x e 2 x