24 . Mostre que, se y = ϕ(t) é uma solução de y′ + p(t)y = 0, então y = cϕ(t) também é solução para qualquer valor da constante c.
Passo 1
- Esses exercícios de “verifique que a função é solução” , existe dois métodos de provar que estamos certos. Um é realmente integrar e descobrir que ambos os lados são iguais. O outro – para mim o mais fácil – é aplicar a solução na diferencial e derivar. Derivar é sempre mais fácil que integrar
Vamos então agora derivar a função
O enunciado nos diz que
y′ + p(t)y = 0
Logo podemos concluir escrever que
Passo 2
Agora vamos provar que multiplicando por uma constante temos de novo nossa equação diferencial original.
Logo usando a relação do enunciado teríamos
y′ + p(t)y = 0
Ou seja conseguimos chegar na mesma relação entre e isso prova que multiplicar por uma constante arbitraria não muda a expressão da nossa solução. Nem a equação diferencial resultante.
Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução
: )
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)