Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 27
Combinando os resultados dos problemas de 24 a 26, mostre que a solução do problema de valor inicial
em que são constantes, tem a forma
A função depende apenas das soluções e 2 da equação homogênea associada e é independente do termo não homogêneo. Uma vez determinado todos os problemas não homogêneos envolvendo o mesmo operador diferencial ficam reduzidos ao cálculo de uma integral. Note também que, embora dependa de ambos e , só aparece a combinação de modo que é, de fato, uma função de uma única variável. Pensando em como os dados de entrada (input) do problema e em como os dados de saída (output), segue, da Eq. (i), que os dados de saída dependem dos dados de entrada em todo o intervalo, do ponto inicial ao valor atual . A integral na Eq. (i) é a convolução de e , e referimo-nos a como o núcleo.
Passo 1
Para resolvermos, vamos combinar os resultados dos exercícios anteriores nos atentando para as equações características de equação, de acordo com o que foi usado anteriormente.
Passo 2
Bom, vamos lá! Como já dito no passo 1, vamos analisar como se é dado os resultados de acordo com a equação característica. Temos que cada exercício nos da uma raiz diferente da equação característica e assim conseguimos notar que para o caso onde as raízes são reais e distintas, nossa solução terá
Se as raízes são reais e idênticas, teremos
E se as raízes são complexas, vamos ter
Isso nos diz que a solução apenas dependerá das raízes da equação característica, assim independente da equação sua solução será do tipo
desde que tenha uma equação característica como solução.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)