Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c1 * e * c2 são constantes).

x^2 * y'' - x * y' + 2y = 0; y = x * cos(ln(x)), x > 0

Passo 1

E aí, tudo joia?

Bom, a gente quer saber se   y = x cos ⁡ ln ⁡ x   é solução da equação x 2 y ' ' - x y ' + 2 y = 0 . Para saber isso, a gente tem que substituir os termos da equação e ver se temos uma igualdade verdadeira.

Já temos y , vamos descobrir quem é y ' e   y ' ' . Vamos derivar então! Vem comigo!

Passo 2

y = x cos ⁡ ln ⁡ x

Derivando...

y ' = cos ⁡ ( ln ⁡ x ) + x - sen ⁡ ln ⁡ x ⋅ 1 x

y ' = cos ⁡ ( ln ⁡ x ) - sen ⁡ ( ln ⁡ x )

Derivando de novo, temos:

y ' ' =   - sen ⁡ ln ⁡ x x - cos ⁡ ln ⁡ x x

Show! Agora a gente vai substituir isso na equação...

Passo 3

Vamos substituir na equação agora...

x 2 y ' ' - x y ' + 2 y = 0

x 2 - sen ⁡ ln ⁡ x x - cos ⁡ ln ⁡ x x - x cos ⁡ ln ⁡ x - sen ⁡ ln ⁡ x + 2 ( x cos ⁡ ln ⁡ x = 0

- x sen ⁡ ln ⁡ x - x cos ⁡ ln ⁡ x - x cos ⁡ ln ⁡ x + x sen ⁡ ln ⁡ x + 2 x cos ⁡ ln ⁡ x = 0

0 = 0

Prontinho! Encontramos uma igualdade verdadeira, então a função é solução! 😉

Resposta

É solução.

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Nos problemas 5-8, verifique que a função indicada é uma solução para a equação diferencial dada.x^2 * y'' + x * y' + y = 0; y = c1 * cos(ln(x)) + c2 * sen(ln(x)), x0