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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 1.1 - Ex. 36

Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes).

x 2 y ' ' - x y ' + 2 y = 0 ;     y = x cos ⁡ ln ⁡ x ,     x > 0

Passo 1

E aí, tudo joia?

Bom, a gente quer saber se   y = x cos ⁡ ln ⁡ x   é solução da equação x 2 y ' ' - x y ' + 2 y = 0 . Para saber isso, a gente tem que substituir os termos da equação e ver se temos uma igualdade verdadeira.

Já temos y , vamos descobrir quem é y ' e   y ' ' . Vamos derivar então! Vem comigo!

Passo 2

y = x cos ⁡ ln ⁡ x

Derivando...

y ' = cos ⁡ ( ln ⁡ x ) + x - sen ⁡ ln ⁡ x ⋅ 1 x

y ' = cos ⁡ ( ln ⁡ x ) - sen ⁡ ( ln ⁡ x )

Derivando de novo, temos:

y ' ' =   - sen ⁡ ln ⁡ x x - cos ⁡ ln ⁡ x x

Show! Agora a gente vai substituir isso na equação...

Passo 3

Vamos substituir na equação agora...

x 2 y ' ' - x y ' + 2 y = 0

x 2 - sen ⁡ ln ⁡ x x - cos ⁡ ln ⁡ x x - x cos ⁡ ln ⁡ x - sen ⁡ ln ⁡ x + 2 ( x cos ⁡ ln ⁡ x = 0

- x sen ⁡ ln ⁡ x - x cos ⁡ ln ⁡ x - x cos ⁡ ln ⁡ x + x sen ⁡ ln ⁡ x + 2 x cos ⁡ ln ⁡ x = 0

0 = 0

Prontinho! Encontramos uma igualdade verdadeira, então a função é solução! 😉

Resposta

É solução.

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