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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.4 - Ex. 61

Mostre que ∑ n = 2 ∞ ln ⁡ n q n p converge para - ∞ < q < ∞   e   p > 1 . (Sugestão: comparação no limite com ∑ n = 2 ∞ 1 n r para 1 < r < p . )

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

O enunciado nos dá a série

∑ n = 2 ∞ ln ⁡ n q n p

Para começarmos os trabalhos, vamos começar analisando o que acontece quando q = 0 :

∑ n = 2 ∞ ln ⁡ n 0 n p = ∑ n = 2 ∞ 1 n p

Reparem que temos aqui uma p-série. Como queremos que p > 1 , então ela converge.

Ok, agora vamos para q ≠ 0 . Vamos assumir que:

a n = ln ⁡ n q n p

b n = 1 n r

Se a gente for olhar, temos uma p-série para b n . E pelo valor de r , podemos assumir que:

r > 1 → b n   c o n v e r g e

r ≤ 1 → b n   d i v e r g e

Passo 2

Beleza, mas ainda não acabamos. Agora, vamos usar a sugestão do enunciado e fazer a comparação no limite:

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n q n p 1 n r

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n q n p 1 n r = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n q n p - r

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o

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